Bài 5.15 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Hai đường thẳng song song và mặt phẳng chứa chúng

Bài 5.15 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ₁: $\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{2}$ và Δ₂: $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2}$

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂.

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện theo các bước tư duy sau:

• Chứng minh song song: Hai đường thẳng song song khi chúng có cùng vectơ chỉ phương (hoặc cùng phương) và một điểm thuộc đường thẳng này không được thuộc đường thẳng kia.

• Viết phương trình mặt phẳng: Khi hai đường thẳng song song, mặt phẳng chứa chúng sẽ nhận tích có hướng của vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và vectơ nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng $\vec{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Giải bài 5.15 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Chứng minh $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau

Bước 1: Xác định điểm và vectơ chỉ phương

• Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1; 3; 2)$ và có VTCP $\vec{u_1} = (3; 1; 2)$.

• Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(1; -1; 0)$ và có VTCP $\vec{u_2} = (3; 1; 2)$.

Bước 2: So sánh và đối chiếu

• Ta thấy $\vec{u_1} = \vec{u_2} = (3; 1; 2)$, suy ra hai đường thẳng này có cùng vectơ chỉ phương (cùng phương).

• Thay tọa độ điểm $A(1; 3; 2)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta_2$:

  $$\frac{1-1}{3} = \frac{3+1}{1} = \frac{2}{2} \Leftrightarrow 0 = 4 = 1 \text{ (Vô lý)}$$

  Vậy điểm $A \notin \Delta_2$.

Kết luận: Vì $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương và $A \notin \Delta_2$ nên $\Delta_1 \parallel \Delta_2$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$

Mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song nên sẽ nhận hai vectơ không cùng phương làm vectơ chỉ phương, đó là $\vec{u_1}$ và $\vec{AB}$.

Bước 1: Tính vectơ nối hai điểm

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Để phương trình gọn hơn, ta chọn vectơ pháp tuyến rút gọn là: $\vec{n'} = \frac{1}{6}\vec{n} = (1; 1; -2)$.

Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1; 3; 2)$ và có VTPT $\vec{n'} = (1; 1; -2)$:

Kết luận: Phương trình mặt phẳng cần tìm là $x + y - 2z = 0$.

Tổng kết kiến thức

• Điều kiện song song: $\vec{u_1} = k\vec{u_2}$ và $M_1 \notin \Delta_2$.

• Mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: VTPT $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{M_1M_2}]$. Lưu ý không được lấy $[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$ vì khi đó kết quả sẽ là vectơ không $\vec{0}$.

• Điểm đặc biệt: Trong bài này, mặt phẳng $x+y-2z=0$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0,0)$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Lấy sai tích có hướng: Lỗi phổ biến nhất là học sinh lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$. Vì chúng bằng nhau nên tích này bằng $\vec{0}$, không thể làm VTPT.

• Không kiểm tra điểm $A$: Nếu không kiểm tra $A \notin \Delta_2$, học sinh có thể nhầm lẫn giữa trường hợp song song và trường hợp trùng nhau.

• Rút gọn sai vectơ pháp tuyến: Khi chia $(6; 6; -12)$ cho $6$, cần cẩn thận với dấu của các thành phần tọa độ.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán trắc nghiệm:

1. Kiểm tra song song: Chỉ cần nhìn bộ số ở mẫu $(3; 1; 2)$. Nếu chúng giống nhau hoặc tỉ lệ, đường thẳng chỉ có thể song song hoặc trùng.

2. Thử điểm nhanh: Thay $A(1;3;2)$ và $B(1;-1;0)$ vào các phương trình mặt phẳng ở đáp án. Đáp án nào thỏa mãn cả hai điểm thì đó là kết quả đúng.

3. Tính chất mặt phẳng: Với phương trình $x+y-2z=0$, bạn có thể thấy ngay tổng các hệ số nhân với tọa độ điểm $B$ là $1 + (-1) - 2(0) = 0$. Kiểm tra cực nhanh!