Bài 4.22 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 4.22 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e^x – 3e^−x thỏa mãn F(0) = 4 là

A. F(x) = e^x – 3e^−x.

B. F(x) = e^x + 3e^−2x.

C. F(x) = e^x + 3e^−x.

D. F(x) = e^x + 3e^−x + 4.

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tìm nguyên hàm cụ thể $F(x)$ biết điều kiện biên.

• Công thức áp dụng:

  1. Nguyên hàm của hàm số mũ cơ bản: $\int e^x \, dx = e^x + C$.

  2. Nguyên hàm của hàm số mũ mở rộng: $\int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$.

• Hướng giải: Tìm họ nguyên hàm $F(x) + C$, sau đó thay $x = 0$ vào để giải phương trình $F(0) = 4$ tìm $C$.

Giải bài 4.22 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: C

Bước 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$

Ta có:

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ:

• $\int e^x \, dx = e^x$

• $\int e^{-x} \, dx = \frac{1}{-1} e^{-x} = -e^{-x}$

Suy ra họ nguyên hàm là:

Bước 2: Tìm hằng số $C$ dựa vào điều kiện $F(0) = 4$

Thay $x = 0$ vào biểu thức $F(x)$ vừa tìm được:

Vì $e^0 = 1$ và $e^{-0} = 1$, ta có:

Bước 3: Kết luận

Với $C = 0$, nguyên hàm cụ thể cần tìm là:

Tổng kết kiến thức

1. Dấu của nguyên hàm mũ: Khi nguyên hàm hàm số $e^{-x}$, đừng quên hệ số $\frac{1}{a} = -1$ làm đổi dấu của số hạng đó.

2. Quy trình tìm C: Luôn tìm họ nguyên hàm trước, sau đó mới thay điều kiện điểm đi qua để xác định hằng số tự do.

Những lỗi hay mắc phải

• Sai dấu khi lấy nguyên hàm: Nhiều học sinh giữ nguyên dấu trừ dẫn đến kết quả $e^x - 3e^{-x}$ (Đáp án A).

• Nhầm lẫn giá trị $e^0$: Một số bạn nhầm $e^0 = 0$, dẫn đến việc tính toán sai giá trị của $C$. Hãy nhớ bất kỳ số nào (khác 0) lũy thừa 0 đều bằng 1.

• Không tìm $C$ mà chọn ngay: Thấy số $4$ trong đề bài nên chọn luôn đáp án D vì có đuôi $+ 4$ mà không thực hiện phép tính thay thế.

Mẹo giải nhanh

Đối với trắc nghiệm, các em có thể dùng phương pháp loại trừ:

• Kiểm tra đạo hàm: Đạo hàm nhanh đáp án C: $(e^x + 3e^{-x})' = e^x - 3e^{-x}$. Khớp với đề bài.

• Thử điều kiện biên: Thay $x=0$ vào đáp án C: $e^0 + 3e^0 = 1 + 3 = 4$. Thỏa mãn $F(0)=4$.

• Chỉ có đáp án C thỏa mãn cả 2 điều kiện trên, ta chọn ngay không cần giải tự luận.