Bài 4.31 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán thực tế về quãng đường

Bài 4.31 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v(t)=-\frac{2}{5}t+4(km/h)$ (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

Phân tích nhanh

• Mối liên hệ: Quãng đường $s(t)$ là một nguyên hàm của vận tốc $v(t)$.

• Xác định hằng số $C$: Tại thời điểm $t = 0$ (bắt đầu vào sông), quãng đường đi được $s(0) = 0$.

• Yếu tố "xa nhất": Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số quãng đường $s(t)$ với điều kiện $t \ge 0$ và vận tốc $v(t) \ge 0$ (cá chỉ bơi ngược dòng khi vận tốc còn dương).

Giải bài 4.31 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tìm hàm quãng đường $s(t)$

Ta có quãng đường đi được sau thời gian $t$ là nguyên hàm của hàm vận tốc:

Vì tại thời điểm $t = 0$ là lúc cá bắt đầu bơi nên quãng đường $s(0) = 0$. Thay vào biểu thức ta được:

Do đó, hàm quãng đường là: $s(t) = -\frac{1}{5}t^2 + 4t$.

Bước 2: Tìm khoảng cách xa nhất

Để tìm khoảng cách xa nhất, ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc biến đổi biểu thức về dạng bình phương:

Vì $-\frac{1}{5}(t - 10)^2 \le 0$ với mọi $t \ge 0$, nên:

Dấu "=" xảy ra khi $t - 10 = 0 \Leftrightarrow t = 10$ (sau 10 giờ bơi).

Kết luận: Khoảng cách xa nhất mà con cá hồi có thể bơi được là 20 km.

Tổng kết kiến thức

1. Nguyên hàm của chuyển động: Luôn nhớ $s(t) = \int v(t) \, dt$ và $v(t) = \int a(t) \, dt$.

2. Cực trị hàm số bậc hai: Với hàm số $y = ax^2 + bx + c$, nếu $a < 0$ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh Parabol $x = -b/2a$. Ở bài này, $t = -4 / (2 \cdot -1/5) = 10$.

3. Ý nghĩa thực tế: Sau 10 giờ, vận tốc của cá giảm về 0 ($v(10) = 0$), khi đó cá dừng lại và đạt được khoảng cách xa nhất.

Những lỗi hay mắc phải

• Quên tìm hằng số $C$: Dù trong bài này $C=0$ nhưng ở nhiều bài khác, quãng đường ban đầu có thể khác 0.

• Không xét điều kiện $v(t) \ge 0$: Cá chỉ có thể bơi ngược dòng khi vận tốc của nó lớn hơn 0. Khi $v(t) < 0$, cá sẽ bị dòng nước đẩy lùi.

• Lỗi tính toán: Nhầm lẫn khi lấy nguyên hàm của $t$ dẫn đến sai hệ số của $t^2$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán vận tốc là hàm bậc nhất $v(t) = at + b$ với $a < 0$:

• Thời gian để đạt quãng đường xa nhất là lúc $v(t) = 0 \Rightarrow t = -b/a$.

• Quãng đường xa nhất chính là diện tích tam giác tạo bởi đồ thị $v(t)$ và hai trục tọa độ:

  $$S = \frac{1}{2} \cdot v(0) \cdot t = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \text{ (km)}.$$

  Mẹo này giúp các em làm bài trắc nghiệm chỉ trong vài giây mà không cần tính tích phân!