Bài 4.1 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.1 Toán 12 Kết nối tri thức:

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $\mathbf{F'(x) = f(x)}$ với mọi $x$ thuộc $K$.

Ta cần tính đạo hàm $F'(x)$ trong từng trường hợp và so sánh với $f(x)$.

Lời giải chi tiết bài 4.1 Toán 12 KNTT:

a) Có: $F'(x)=(xlnx)'$ $=lnx+x.\frac{1}{x}$ $=1+lnx=f(x)$

Vì vậy, hàm số F(x) = xlnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞).

b) Có F'(x) = (e^sinx)' = e^sinx.(sinx)' = cosx.e^sinx ≠ f(x) = e^cosx.

Vì vậy, hàm số F(x) = e^sinx không là nguyên hàm của hàm số f(x) = e^cosx trên ℝ.