Bài 4.35 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể thực tế

Bài 4.35 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}x^2+\frac{3}{35}x+5\,(0\leq x\leq 30)$ (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm³ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Phân tích nhanh

• Mô hình toán học: Thể tích đất sét chính là hiệu thể tích giữa "khối tròn xoay bên ngoài" và "khối tròn xoay bên trong".

• Thông số bên trong: Giới hạn từ $x = 0$ đến $x = 30$.

• Thông số bên ngoài: Vì độ dày bình là $1$ cm, phần đất sét bao phủ thêm một khoảng dọc theo trục $Ox$, tức giới hạn từ $x = 0$ đến $x = 31$ (hoặc xét phần vỏ có độ dày tương ứng).

• Công thức áp dụng:

  $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

Giải bài 4.35 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Để tính lượng đất sét, ta cần tính thể tích phần vỏ nằm giữa hai mặt tròn xoay. Theo đề bài, thể tích đất sét cần sử dụng là hiệu của khối tròn xoay từ $0$ đến $31$ và khối từ $0$ đến $30$ của hàm số mô phỏng mặt trong:

Sử dụng tính chất tích phân: $\int_{0}^{31} = \int_{0}^{30} + \int_{30}^{31}$, ta có:

Bước 1: Khai triển hàm số dưới dấu tích phân

Khai triển hằng đẳng thức $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$:

Rút gọn các hạng tử đồng dạng:

Bước 2: Tìm nguyên hàm và thay cận

Thực hiện tính toán giá trị tại $x = 31$ và $x = 30$:

Kết luận: Để hoàn thành bình gốm, ta cần sử dụng khoảng $167,2\pi \text{ cm}^3$ đất sét.

Tổng kết kiến thức

1. Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể rỗng hoặc vỏ mỏng bằng cách tính hiệu hai tích phân.

2. Kỹ năng đại số: Khai triển đa thức bậc cao đòi hỏi sự tỉ mỉ để tránh sai sót hệ số.

3. Ý nghĩa thực tiễn: Giúp các thợ thủ công hoặc kiến trúc sư ước tính chính xác nguyên vật liệu cần thiết.

Những lỗi hay mắc phải

• Sai cận tích phân: Nhiều bạn chỉ tính tích phân từ $0$ đến $30$ là sai, vì đó là thể tích phần rỗng bên trong bình, không phải thể tích đất sét.

• Khai triển thiếu hạng tử: Quên các hạng tử tích chéo ($2ab, 2ac, 2bc$) khi bình phương tam thức.

• Lỗi đơn vị: Quên không nhân $\pi$ vào kết quả cuối cùng hoặc nhầm lẫn đơn vị giữa $cm^2$ và $cm^3$.

Mẹo giải nhanh

• Sử dụng máy tính Casio: Với những biểu thức phức tạp này, hãy nhập trực tiếp hàm tích phân vào máy tính: π * ∫((1/175x² + 3/35x + 5)², 30, 31). Máy tính sẽ cho kết quả xấp xỉ 525,27 (tương đương $167,2\pi$). Điều này giúp bạn kiểm tra lại các bước biến đổi nguyên hàm của mình có chính xác hay không.