Bài 5.9 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Xác định các mặt phẳng song song trong kiến trúc ngôi nhà

Bài 5.9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau.

Phân tích nhanh

Để kiểm tra hai mặt phẳng có song song với nhau hay không, chúng ta thực hiện các bước:

1. Xác định vectơ pháp tuyến (VTPT): Tìm các vectơ $\vec{n}$ của từng mặt phẳng từ phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$.

2. So sánh: Hai mặt phẳng song song nếu hai VTPT cùng phương và hệ số tự do $D$ thỏa mãn điều kiện không trùng nhau.

Giải bài 5.9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

1. Xét mặt phẳng chứa sàn nhà:

Sàn nhà thuộc mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$. Phương trình của mặt phẳng $(Oxy)$ là: $z = 0$.

Vectơ pháp tuyến là: $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

2. Xét mặt phẳng chứa trần tầng 1:

Mặt phẳng $(P)$ chứa trần tầng 1 có phương trình: $z - 1 = 0$.

Vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_1 = (0; 0; 1)$.

3. Xét mặt phẳng chứa mái tầng 2:

Mặt phẳng $(Q)$ chứa mái tầng 2 có phương trình: $x + y + 50z - 100 = 0$.

Vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_2 = (1; 1; 50)$.

So sánh các mặt phẳng:

• Giữa sàn nhà ($z=0$) và trần tầng 1 ($z-1=0$):

  Ta có $\vec{n}_1 = \vec{k} = (0; 0; 1)$ và hệ số tự do khác nhau ($0 \neq -1$).

  $\Rightarrow$ Sàn nhà song song với trần tầng 1.

• Giữa trần tầng 1 và mái tầng 2:

  Vectơ $\vec{n}_1 = (0; 0; 1)$ và $\vec{n}_2 = (1; 1; 50)$ không cùng phương (do $\frac{0}{1} \neq \frac{1}{50}$).

  $\Rightarrow$ Trần tầng 1 và mái tầng 2 không song song.

Kết luận: Trong ba mặt phẳng đã cho, mặt phẳng chứa sàn nhà và mặt phẳng chứa trần tầng 1 song song với nhau.

Tổng kết kiến thức

• Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

  • Mặt phẳng $(Oxy)$: $z = 0$ (VTPT $\vec{k} = (0; 0; 1)$)

  • Mặt phẳng $(Oyz)$: $x = 0$ (VTPT $\vec{i} = (1; 0; 0)$)

  • Mặt phẳng $(Oxz)$: $y = 0$ (VTPT $\vec{j} = (0; 1; 0)$)

• Điều kiện song song: Hai mặt phẳng song song khi các hệ số $A, B, C$ tương ứng tỉ lệ nhưng hệ số $D$ thì không.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên phương trình mặt phẳng tọa độ: Nhiều bạn lúng túng khi đề bài chỉ ghi "mặt phẳng $(Oxy)$" mà không cho phương trình cụ thể. Hãy nhớ mặt phẳng thiếu biến nào thì biến đó bằng $0$.

• Nhầm lẫn hệ số: Trong phương trình $z - 1 = 0$, nhiều học sinh nhầm VTPT là $(1; -1; 0)$ hoặc $(0; 0; -1)$. Hãy nhớ hệ số của $z$ là $1$, còn $x$ và $y$ vắng mặt nghĩa là hệ số bằng $0$.

• Không kiểm tra hệ số tự do: Nếu hai mặt phẳng có VTPT giống nhau và hệ số tự do cũng giống nhau thì chúng trùng nhau chứ không phải song song.

Mẹo giải nhanh

Đối với các mặt phẳng "khuyết" biến, bạn có thể nhận biết nhanh:

• Nếu hai phương trình chỉ chứa biến $z$ (như $z=0$ và $z=1$), chúng chắc chắn song song với nhau và cùng vuông góc với trục $Oz$.

• Mái nhà tầng 2 có đầy đủ $x, y, z$ chứng tỏ nó là một mặt phẳng nghiêng, nên không thể song song với các mặt phẳng nằm ngang chỉ chứa biến $z$.

Cách quan sát này giúp bạn đưa ra dự đoán chính xác cho các câu hỏi trắc nghiệm chỉ trong vài giây!