Bài 4.33 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tính diện tích hình phẳng

Bài 4.33 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x, y = x, x = 0 và x = 1.

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai cận $x = a, x = b$.

• Công thức áp dụng:

  $$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$

• Các yếu tố xác định:

  • Hàm số: $f(x) = e^x$ và $g(x) = x$.

  • Cận tích phân: $x = 0$ và $x = 1$.

• Xét vị trí tương đối: Trên đoạn $[0; 1]$, hàm số $e^x$ luôn lớn hơn $x$. Điều này giúp chúng ta phá dấu giá trị tuyệt đối một cách dễ dàng.

Giải bài 4.33 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Bước 1: Thiết lập biểu thức tính diện tích

Theo công thức tính diện tích hình phẳng, ta có:

Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối

Xét hàm số $h(x) = e^x - x$ trên đoạn $[0; 1]$.

Ta thấy $e^x > 0$ và với mọi $x \in [0; 1]$, đồ thị hàm số mũ $e^x$ luôn nằm phía trên đường thẳng $y = x$.

(Chứng minh nhanh: $h'(x) = e^x - 1$. Với $x \in [0; 1]$ thì $e^x \ge 1 \Rightarrow h'(x) \ge 0$. Hàm số đồng biến nên $h(x) \ge h(0) = e^0 - 0 = 1 > 0$).

Do đó: $|e^x - x| = e^x - x$.

Bước 3: Tính tích phân

Thay cận vào biểu thức:

• Tại $x = 1$: $e^1 - \frac{1^2}{2} = e - \frac{1}{2}$

• Tại $x = 0$: $e^0 - \frac{0^2}{2} = 1 - 0 = 1$

Kết quả cuối cùng:

Tổng kết kiến thức

1. Công thức diện tích: Phải luôn có dấu giá trị tuyệt đối $\int |f(x) - g(x)| dx$.

2. Kỹ năng phá dấu: Nếu không vẽ hình, hãy xét dấu biểu thức hiệu bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm hoặc xét tính đơn điệu của hàm hiệu.

3. Nguyên hàm cơ bản: Ghi nhớ $\int e^x dx = e^x$ và $\int x dx = \frac{x^2}{2}$.

Những lỗi hay mắc phải

• Quên trừ giá trị cận dưới: Nhiều học sinh tính ra $e - 1/2$ và quên mất việc trừ đi giá trị tại $x = 0$. Hãy nhớ $e^0 = 1$, không phải bằng 0.

• Nhầm lẫn công thức: Nhầm sang công thức tính thể tích (có $\pi$ và bình phương hàm số).

• Sai số khi thay cận: Tính toán sai phân số $-1/2 - 1$ dẫn đến kết quả sai lệch hằng số.

Mẹo giải nhanh

• Sử dụng Casio: Nhập biểu thức ∫(|e^x - x|, 0, 1) vào máy tính. Kết quả sẽ xấp xỉ 1.218... Bạn so sánh với các đáp án (ví dụ $e - 1.5 \approx 2.718 - 1.5 = 1.218$) để chọn đáp án đúng ngay lập tức.

• Nhận xét nhanh: Vì $e^x$ tăng rất nhanh so với $x$, trên đoạn $[0; 1]$ chắc chắn $e^x > x$, bạn có thể bỏ qua bước xét dấu giá trị tuyệt đối để tiết kiệm thời gian.