Bài 5.11 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Bài 5.11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d: $\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+5}{3}$

Phân tích nhanh

Để viết được phương trình đường thẳng, chúng ta cần xác định hai yếu tố then chốt:

1. Một điểm đi qua: Đề bài đã cho là điểm $A(1; 1; 2)$.

2. Vectơ chỉ phương (VTCP): Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d$, nên $\Delta$ sẽ có cùng vectơ chỉ phương với đường thẳng $d$.

Giải bài 5.11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng $d: \frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+5}{3}$, ta xác định được một vectơ chỉ phương là:

Bước 2: Xác định VTCP của đường thẳng $\Delta$

Vì $\Delta \parallel d$ nên đường thẳng $\Delta$ nhận $\vec{u} = (2; 1; 3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Bước 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; 1; 2)$ và có VTCP $\vec{u} = (2; 1; 3)$ có phương trình tham số là:

Bước 4: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$

Với VTCP $\vec{u} = (2; 1; 3)$ (các thành phần đều khác 0), phương trình chính tắc của $\Delta$ là:

Tổng kết kiến thức

• Đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì có chung vectơ chỉ phương (hoặc các VTCP cùng phương).

• Công thức phương trình tham số: Đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$:

  $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

• Công thức phương trình chính tắc:

  $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \quad (a, b, c \neq 0)$$

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa điểm và vectơ: Thay tọa độ điểm $A$ xuống dưới mẫu số hoặc tọa độ vectơ $\vec{u}$ lên trên tử số trong phương trình chính tắc.

• Sai dấu trong phương trình: Khi viết phương trình chính tắc, công thức là $x - x_0$. Nhiều bạn viết nhầm $x + 1$ thay vì $x - 1$ khi điểm đi qua có tọa độ dương.

• Quên điều kiện tham số: Thiếu ký hiệu $t \in \mathbb{R}$ khi viết phương trình tham số.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm:

1. Nhìn mẫu số trước: Kiểm tra ngay bộ số ở mẫu số (trong phương trình chính tắc) hoặc hệ số của $t$ (trong phương trình tham số). Chúng phải tỉ lệ với $(2; 1; 3)$.

2. Thay điểm $A$: Thay tọa độ điểm $A(1; 1; 2)$ vào các đáp án còn lại. Đáp án nào thỏa mãn (trong chính tắc là các phân số bằng 0, trong tham số là $t=0$) thì đó là đáp án đúng.

3. Lưu ý: VTCP có thể được nhân thêm với một hằng số khác 0 (ví dụ: $(4; 2; 6)$), nên đừng quá bất ngờ nếu không thấy trực tiếp bộ số $(2; 1; 3)$.