Bài 6.10 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất đoạt huy chương vàng

Bài 6.10 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.

a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;

b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.

Phân tích bài toán

• Câu a: Yêu cầu tính xác suất của một biến cố dựa trên hai kịch bản (VĐV thuộc đội I hoặc đội II). Đây là dấu hiệu sử dụng Công thức xác suất toàn phần.

• Câu b: Yêu cầu tính xác suất của "nguyên nhân" (thuộc đội I) khi đã biết "kết quả" (đoạt HCV). Đây là bài toán điển hình sử dụng Công thức Bayes.

Giải bài 6.10 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• $A$: “VĐV được chọn thuộc đội I”.

• $\overline{A}$: “VĐV được chọn thuộc đội II”.

• $E$: “VĐV được chọn đạt huy chương vàng”.

Dữ liệu đề bài cho:

• Tổng số VĐV là $5 + 7 = 12$.

• $P(A) = \frac{5}{12} \Rightarrow P(\overline{A}) = \frac{7}{12}$.

• $P(E|A) = 0,65$ (Xác suất đạt HCV nếu thuộc đội I).

• $P(E|\overline{A}) = 0,55$ (Xác suất đạt HCV nếu thuộc đội II).

a) Tính xác suất để vận động viên đạt huy chương vàng ($P(E)$)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

Thay số vào công thức:

Kết luận: Xác suất để vận động viên được chọn đạt HCV là khoảng 0,5917.

b) Tính xác suất VĐV thuộc đội I khi biết đã đạt HCV ($P(A|E)$)

Đây là xác suất đảo (xác suất hậu nghiệm), ta áp dụng công thức Bayes:

Dựa vào kết quả đã tính ở câu a:

Kết luận: Nếu VĐV đã đạt HCV, xác suất người đó thuộc đội I là khoảng 0,4577.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần: Dùng để tính xác suất "tiên nghiệm" (trước khi biết kết quả cụ thể).

• Công thức Bayes: Dùng để cập nhật xác suất của các giả thuyết khi đã có thông tin về kết quả xảy ra.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Xác định sai không gian mẫu: Nhiều bạn quên cộng tổng số VĐV ($5+7=12$) dẫn đến tính $P(A)$ sai.

• Nhầm lẫn giữa $P(E|A)$ và $P(A|E)$: * $P(E|A)$ là xác suất đoạt giải khi đã biết đội (đề bài cho).

  • $P(A|E)$ là xác suất thuộc đội khi đã biết đoạt giải (phải dùng Bayes).

• Lỗi làm tròn: Nên giữ kết quả dưới dạng phân số cho đến bước cuối cùng để tránh sai số tích lũy.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, để tính câu b nhanh nhất sau khi đã có kết quả câu a:

$P(\text{Đội I} | \text{HCV}) = \frac{\text{Số hạng thứ nhất của tổng ở câu a}}{\text{Tổng kết quả câu a}}$

Bấm máy tính: $(\frac{5}{12} \cdot 0,65) \div 0,5917$. Cách này giúp các em tiết kiệm thời gian và giảm thiểu sai sót khi viết lại công thức.