Bài 6.1 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.1 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán cơ bản về xác suất có điều kiện.

• Dữ kiện đã biết (Điều kiện): Thẻ rút ra mang số chẵn. Điều này làm thu hẹp không gian mẫu ban đầu từ 20 thẻ xuống chỉ còn các thẻ số chẵn.

• Mục tiêu: Tính xác suất thẻ đó là số 10 trong tập hợp các thẻ số chẵn đã biết.

Giải bài 6.1 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Người đó rút được thẻ số 10”.

Gọi $B$ là biến cố: “Người đó rút được thẻ mang số chẵn”.

Bước 1: Xác định các tập hợp biến cố

• Biến cố $B$ gồm các số chẵn từ 1 đến 20:

  $B = \{2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20\}$.

  Số phần tử của $B$ là $n(B) = 10$.

• Biến cố giao $AB$ (vừa là số 10, vừa là số chẵn):

  $AB = \{10\}$.

  Số phần tử của $AB$ là $n(AB) = 1$.

Bước 2: Tính xác suất của các biến cố

Không gian mẫu ban đầu có $n(\Omega) = 20$ phần tử.

• Xác suất của biến cố $B$ là: $P(B) = \frac{10}{20}$.

• Xác suất của biến cố $AB$ là: $P(AB) = \frac{1}{20}$.

Bước 3: Tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$

Xác suất để rút được thẻ số 10 khi biết thẻ đó mang số chẵn là:

Kết luận: Vậy xác suất để người đó rút được thẻ số 10 là $1/10$ (hay 10%).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện:

  $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

• Ý nghĩa: Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ phản ánh khả năng xảy ra của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn không gian mẫu: Học sinh thường quên rằng điều kiện "số chẵn" đã xảy ra, nên vẫn chia cho 20 thay vì chia cho 10.

• Xác định sai tập hợp giao: Cần hiểu rõ $AB$ là tập hợp các phần tử thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm đơn giản như thế này, các em có thể tính trực tiếp bằng cách đếm số phần tử:

$P(A|B) = \frac{n(AB)}{n(B)}$

Áp dụng vào bài: Có duy nhất 1 thẻ số 10 trong tổng số 10 thẻ số chẵn. Vậy xác suất là $1/10$. Rất nhanh và chính xác!