Bài 5.10 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Ứng dụng tích có hướng tính Moment lực

Bài 5.10 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực  thì moment lực  được tính bởi công thức $\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}\right]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực  có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực  có phương thẳng đứng?

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần dựa vào tính chất hình học của tích có hướng (Cross Product):

• Vectơ tích có hướng $\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}]$ luôn vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

• Trong không gian $Oxyz$, một phương vuông góc với tất cả các phương nằm ngang thì chắc chắn phải là phương thẳng đứng.

Giải bài 5.10 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

1. Xác định phương của các vectơ thành phần:

   • Theo giả thiết, thanh gỗ $PQ$ luôn có phương nằm ngang, do đó vectơ vị trí $\vec{OP}$ có phương nằm ngang.

   • Thanh gỗ $AB$ cũng có phương nằm ngang. Vì vectơ lực $\vec{F}$ có giá song song với $AB$ nên vectơ lực $\vec{F}$ cũng có phương nằm ngang.

2. Sử dụng tính chất tích có hướng:

   • Moment lực được xác định bởi công thức: $\vec{M} = [\vec{OP}, \vec{F}]$.

   • Theo tính chất của tích có hướng, vectơ $\vec{M}$ sẽ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{OP}$ và $\vec{F}$.

3. Biện luận phương của Moment lực:

   • Vì cả $\vec{OP}$ và $\vec{F}$ đều nằm trong mặt phẳng nằm ngang (song song hoặc thuộc mặt phẳng $Oxy$), nên vectơ $\vec{M}$ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang đó.

   • Trong không gian, phương vuông góc với phương nằm ngang chính là phương thẳng đứng.

Kết luận: Giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ có phương thẳng đứng.

Tổng kết kiến thức

• Tích có hướng: $\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}] \Rightarrow \vec{c} \perp \vec{a}$ và $\vec{c} \perp \vec{b}$.

• Ứng dụng vật lý: Moment lực đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực. Trong trường hợp cối xay, lực đẩy ngang tạo ra moment làm trục cối quay quanh phương thẳng đứng.

• Quan hệ phương vị: Phương thẳng đứng luôn vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng nằm ngang.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn khái niệm: Học sinh thường nhầm giá của vectơ moment lực trùng với hướng của lực đẩy $\vec{F}$. Hãy nhớ moment lực là tích có hướng, nên hướng của nó tuân theo "quy tắc bàn tay phải".

• Thiếu lập luận hình học: Khi giải bài này, nhiều bạn chỉ nói "vì nó vuông góc nên nó thẳng đứng" mà quên chưa chỉ rõ $\vec{OP}$ và $\vec{F}$ cùng nằm ngang.

• Quên công thức: Moment lực $\vec{M} = [\vec{OP}, \vec{F}]$ khác với công thức độ lớn $M = F \cdot d$. Ở đây chúng ta đang xét dưới dạng vectơ trong không gian.

Mẹo giải nhanh

Để ghi nhớ nhanh hướng của vectơ tích có hướng, bạn có thể sử dụng Quy tắc bàn tay phải:

• Xòe bàn tay phải sao cho các ngón tay hướng theo vectơ thứ nhất ($\vec{OP}$).

• Khum các ngón tay về phía vectơ thứ hai ($\vec{F}$).

• Ngón cái choãi ra $90^\circ$ chính là chiều của vectơ moment lực $\vec{M}$.

• Trong bài toán cối xay lúa, khi bạn đẩy ngang, ngón cái luôn hướng lên trên hoặc xuống dưới (phương thẳng đứng). Điều này giúp bạn kiểm chứng nhanh đáp án luận điểm của mình!