Bài 4.25 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 4.25 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [−2;2] như Hình 4.32.

Biết \int_{-2}^{-1}f(x)dx=\int_{1}^{2}f(x)dx=-\frac{22}{15} và \int_{-1}^{1}f(x)dx=\frac{76}{15}. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là

A. 8.

B. 22/15

C. 32/15

D. 76/15

Phân tích nhanh

• Công thức tổng quát: Diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là:

  $$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$$

• Quan sát đồ thị: * Trên khoảng $(-2; -1)$ và $(1; 2)$: Đồ thị nằm dưới trục Ox $\Rightarrow f(x) < 0 \Rightarrow |f(x)| = -f(x)$.

  • Trên khoảng $(-1; 1)$: Đồ thị nằm trên trục Ox $\Rightarrow f(x) > 0 \Rightarrow |f(x)| = f(x)$.

Giải bài 4.25 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: A

Diện tích hình phẳng $S$ trên đoạn $[-2; 2]$ được tính bằng cách chia thành 3 tích phân con:

Dựa vào vị trí của đồ thị so với trục hoành, ta phá dấu giá trị tuyệt đối:

• $\int_{-2}^{-1} |f(x)| \, dx = -\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx = -\left( -\frac{22}{15} \right) = \frac{22}{15}$

• $\int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{76}{15}$

• $\int_{1}^{2} |f(x)| \, dx = -\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -\left( -\frac{22}{15} \right) = \frac{22}{15}$

Tổng diện tích là:

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 8.

Tổng kết kiến thức

1. Diện tích luôn dương: Khác với tích phân có thể âm, diện tích hình phẳng luôn mang giá trị không âm.

2. Quy tắc đổi dấu: Khi tính diện tích, nếu phần hình phẳng nằm phía dưới trục hoành ($f(x) < 0$), ta lấy đối của tích phân đó.

3. Tính chất cộng diện tích: Có thể chia nhỏ miền cần tính diện tích thành nhiều phần dựa trên các giao điểm với trục hoành để tính toán dễ dàng hơn.

Những lỗi hay mắc phải

• Cộng trực tiếp các tích phân: Một số học sinh lấy $(-22/15) + (76/15) + (-22/15) = 32/15$ (Đáp án C). Đây là kết quả của tích phân $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx$, không phải diện tích.

• Nhầm lẫn dấu: Quên đặt dấu trừ trước các tích phân có giá trị âm khi tính diện tích.

• Không quan sát hình vẽ: Không tận dụng dữ kiện trực quan từ đồ thị để xác định dấu của hàm số trên từng khoảng.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán cho sẵn giá trị tích phân và hình vẽ:

• Lấy giá trị tuyệt đối từng phần: Diện tích $S$ = |Tích phân 1| + |Tích phân 2| + |Tích phân 3|.

• Phép tính nhanh: $S = |-\frac{22}{15}| + |\frac{76}{15}| + |-\frac{22}{15}| = \frac{22 + 76 + 22}{15} = \frac{120}{15} = 8$.

  Cách này giúp các em làm bài trắc nghiệm cực nhanh mà không sợ sai sót về dấu.