Bài 4.20 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Bài 4.20 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Một nguyên hàm của hàm số $f(x) = sin2x$ là:

A. $F(x) = 2cos2x$

B. $F(x) = −cos2x$

C. $F(x)=\frac{1}{2}cos2x$

D. $F(x)=\frac{-1}{2}cos2x$

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có hệ số $a \neq 1$.

• Công thức áp dụng: Sử dụng công thức mở rộng của nguyên hàm hàm số $\sin$:

  $$\int \sin(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C$$

• Hệ số xác định: Trong bài này, hàm số là $f(x) = \sin 2x$, suy ra $a = 2$.

Giải bài 4.20 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: D

Cách 1: Áp dụng công thức tính nhanh

Ta có:

Với $C = 0$, ta thu được một nguyên hàm là $F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x$.

Cách 2: Thử lại bằng đạo hàm (Dành cho trắc nghiệm)

Để kiểm tra $F(x)$ có phải là nguyên hàm của $f(x)$ hay không, ta tính $F'(x)$:

• Với đáp án D: $F'(x) = \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right)' = -\frac{1}{2} \cdot (- \sin 2x) \cdot (2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (- \sin 2x) \cdot 2 = \sin 2x$.

  Vì $F'(x) = f(x)$ nên $F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x$ chính là một nguyên hàm của $f(x) = \sin 2x$.

Tổng kết kiến thức

1. Nguyên hàm của sin là -cos: Hãy nhớ câu thần chú "Đạo hàm của sin ra cos, nguyên hàm của sin ra trừ cos" để tránh nhầm dấu.

2. Quy tắc hệ số $a$: Khi biến số $x$ có hệ số $a$, kết quả nguyên hàm luôn phải nhân thêm $\frac{1}{a}$.

Những lỗi hay mắc phải

• Nhầm dấu: Rất nhiều học sinh chọn đáp án C ($1/2 \cos 2x$) vì nhầm lẫn với đạo hàm của hàm $\cos$ hoặc quên dấu "-" khi lấy nguyên hàm của $\sin$.

• Quên hệ số $1/a$: Chọn đáp án B vì chỉ nhớ nguyên hàm của $\sin$ là $-\cos$ mà quên chia cho hệ số $2$ của $x$.

• Nhầm với đạo hàm: Chọn đáp án A ($2\cos 2x$) do thực hiện phép tính đạo hàm thay vì tìm nguyên hàm.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài trắc nghiệm tìm nguyên hàm đơn giản:

• Liếc nhanh hệ số: Thấy $\sin 2x$ thì kết quả chắc chắn phải có mẫu số là $2$. Loại ngay A và B.

• Kiểm tra hàm: Nguyên hàm của $\sin$ phải ra $-\cos$. Loại ngay C.

• Kết luận: Chọn ngay D mà không cần đặt bút tính toán quá lâu.