Bài 6.20 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.20 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chuồng I có 5 con gà mái, 2 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái, 5 con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: “Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I. Nếu số chấm không chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán xác suất thực hiện qua hai giai đoạn:

1. Giai đoạn 1: Xác định chuồng dựa trên kết quả xúc xắc.

2. Giai đoạn 2: Xác định loại gà (mái hoặc trống) từ chuồng đã chọn.

Để giải bài này, chúng ta cần sử dụng Công thức xác suất toàn phần vì xác suất bắt được gà mái phụ thuộc vào việc bác Mai đã chọn chuồng nào ở bước trước đó.

Giải bài 6.20 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• $A$: “Bác Mai chọn chuồng I”.

• $\overline{A}$: “Bác Mai chọn chuồng II”.

• $B$: “Bác Mai bắt được con gà mái”.

Chúng ta cần tính $P(B)$ thông qua hệ đầy đủ các biến cố $\{A, \overline{A}\}$.

Bước 1: Tính xác suất chọn chuồng ($P(A)$ và $P(\overline{A})$)

Khi tung một con xúc xắc, không gian mẫu có 6 kết quả: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

• Các số chấm chia hết cho 3 là: $\{3, 6\}$ (có 2 kết quả).

  $$\Rightarrow P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

• Các số chấm không chia hết cho 3 là: $\{1, 2, 4, 5\}$ (có 4 kết quả).

  $$\Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Bước 2: Tính xác suất bắt được gà mái trong từng chuồng ($P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$)

• Nếu chọn chuồng I (có 5 mái, 2 trống):

  $$P(B|A) = \frac{5}{5 + 2} = \frac{5}{7}$$

• Nếu chọn chuồng II (có 3 mái, 5 trống):

  $$P(B|\overline{A}) = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}$$

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là:

Thay các giá trị đã tính vào biểu thức:

Quy đồng mẫu số (mẫu chung là 84):

Kết luận: Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là khoảng 0,4881.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Xác suất toàn phần: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$.

• Liên kết kiến thức: Bài toán kết hợp kiến thức về xúc xắc (lớp 10, 11) và xác suất có điều kiện (lớp 12).

• Quy tắc sơ đồ cây: Có thể dùng sơ đồ cây để nhân các xác suất dọc theo nhánh rồi cộng lại.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai $P(A)$: Học sinh thường nhầm số chấm chia hết cho 3 chỉ có số 3 (quên số 6) hoặc tính sai tỉ lệ trên xúc xắc.

• Nhầm lẫn số gà: Cần chú ý tổng số gà ở mỗi chuồng khác nhau (Chuồng I là 7, Chuồng II là 8). Nếu nhầm mẫu số, kết quả sẽ sai hoàn toàn.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, các em hãy bấm máy tính theo công thức "tổng của các tích":

$P = (\text{XS chọn chuồng I}) \times (\text{Tỉ lệ mái chuồng I}) + (\text{XS chọn chuồng II}) \times (\text{Tỉ lệ mái chuồng II})$

Thao tác bấm: $(1/3 \times 5/7) + (2/3 \times 3/8) = 41/84$.

Chỉ mất khoảng 10 giây để các em có đáp án chính xác mà không cần trình bày dài dòng!