Bài 6.18 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và thuốc Y, người ta tiến hành thử nghiệm trên 4 000 người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng thống kê 2 × 2 sau:

Chọn ngẫu nhiên 1 người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.

a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người bệnh đó uống thuốc X.

b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.

Phân tích bài toán

Bài toán yêu cầu tính xác suất có điều kiện dựa trên dữ liệu thực tế.

• Câu a: Điều kiện là "uống thuốc X". Chúng ta chỉ xét trong nhóm 2 400 người dùng thuốc X.

• Câu b: Điều kiện là "khỏi bệnh". Chúng ta chỉ xét trong nhóm 2 800 người đã khỏi bệnh.

• Công cụ giải: Công thức xác suất có điều kiện $P(A|B) = \frac{n(AB)}{n(B)}$.

Giải bài 6.18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• $E$: “Người được chọn dùng thuốc X”.

• $\overline{E}$: “Người được chọn dùng thuốc Y”.

• $F$: “Người được chọn khỏi bệnh”.

Dựa vào bảng số liệu, ta có các tổng số phần tử sau:

• Tổng số người tham gia: $n(\Omega) = 4\,000$.

• Số người dùng thuốc X: $n(E) = 1\,600 + 800 = 2\,400$.

• Số người dùng thuốc Y: $n(\overline{E}) = 1\,200 + 400 = 1\,600$.

• Số người khỏi bệnh: $n(F) = 1\,600 + 1\,200 = 2\,800$.

• Số người vừa dùng thuốc X vừa khỏi bệnh: $n(EF) = 1\,600$.

• Số người vừa dùng thuốc Y vừa khỏi bệnh: $n(\overline{E}F) = 1\,200$.

a) Tính xác suất khỏi bệnh khi biết uống thuốc X ($P(F|E)$)

Đây là xác suất để một người khỏi bệnh với điều kiện người đó đã dùng thuốc X.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

b) Tính xác suất uống thuốc Y khi biết đã khỏi bệnh ($P(\overline{E}|F)$)

Đây là xác suất để một người dùng thuốc Y với điều kiện người đó nằm trong nhóm đã khỏi bệnh.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

Kết luận: * a) Xác suất khỏi bệnh khi dùng thuốc X là 2/3.

• b) Xác suất người khỏi bệnh đã dùng thuốc Y là 3/7.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện trên bảng số liệu:

  $$P(A|B) = \frac{\text{Số phần tử chung của A và B}}{\text{Tổng số phần tử của điều kiện B}}$$

• Kỹ năng đọc bảng: Luôn xác định đúng "Tổng dòng" và "Tổng cột" tương ứng với điều kiện đề bài đưa ra.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sử dụng sai mẫu số: Lỗi phổ biến nhất là luôn lấy tổng số người (4 000) làm mẫu số. Hãy nhớ: Khi đã có "điều kiện", mẫu số phải là tổng của nhóm điều kiện đó.

• Nhầm lẫn giữa các biến cố: Cần đọc kỹ đâu là "nguyên nhân" (dùng thuốc) và đâu là "kết quả" (khỏi bệnh) để áp dụng đúng thứ tự trong công thức $P(A|B)$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán có bảng $2 \times 2$, các em có thể khoanh vùng trực tiếp trên bảng:

1. Câu a: Khoanh cột "Thuốc X". Lấy ô "Khỏi bệnh" ($1\,600$) chia cho tổng cột đó ($2\,400$).

2. Câu b: Khoanh dòng "Khỏi bệnh". Lấy ô "Thuốc Y" ($1\,200$) chia cho tổng dòng đó ($2\,800$).

   Cách làm này giúp các em làm bài trắc nghiệm cực kỳ nhanh mà không cần viết ra các ký hiệu biến cố phức tạp!