Bài 6.9 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Kiểm tra chất lượng linh kiện điện tử

Bài 6.9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tại nhà máy X sản xuất linh kiện điện tử tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất xưởng ra thị trường, các linh kiện điện tử đều phải qua khâu kiểm tra chất lượng để đóng dấu OTK. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,99 được đóng dấu OTK; nếu một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,95 không được đóng dấu OTK. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử của nhà máy X trên thị trường.

a) Tính xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK.

b) Dùng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán xác suất kép:

1. Giai đoạn 1: Bản thân linh kiện đó có đạt tiêu chuẩn hay không?

2. Giai đoạn 2: Máy kiểm tra có đóng dấu OTK hay không (phụ thuộc vào kết quả giai đoạn 1).

Giải bài 6.9 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn”.

Gọi $B$ là biến cố: “Linh kiện điện tử được đóng dấu OTK”.

Dữ kiện đề bài cho:

• $P(A) = 0,8 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,8 = 0,2$.

• $P(B|A) = 0,99$ (Đạt tiêu chuẩn và được đóng dấu).

• $P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,95$ (Không đạt tiêu chuẩn và không được đóng dấu).

a) Xác suất linh kiện được đóng dấu OTK ($P(B)$)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Ta cần tìm $P(B|\overline{A})$ (Xác suất linh kiện không đạt nhưng vẫn bị đóng dấu OTK nhầm):

Thay số vào công thức:

Kết luận: Xác suất để linh kiện được đóng dấu OTK là 0,802.

b) Dùng sơ đồ hình cây tính xác suất không được đóng dấu OTK ($P(\overline{B})$)

Sơ đồ hình cây mô tả các kịch bản dẫn đến việc linh kiện không được đóng dấu OTK ($\overline{B}$):

Dựa vào sơ đồ hình cây, có hai con đường dẫn đến biến cố $\overline{B}$:

1. Nhánh $A \to \overline{B}$: Linh kiện đạt tiêu chuẩn nhưng bị loại nhầm.

   Xác suất: $P(A) \cdot P(\overline{B}|A) = 0,8 \cdot (1 - 0,99) = 0,8 \cdot 0,01 = 0,008$.

2. Nhánh $\overline{A} \to \overline{B}$: Linh kiện không đạt tiêu chuẩn và bị loại đúng.

   Xác suất: $P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,2 \cdot 0,95 = 0,19$.

Tổng xác suất để linh kiện không được đóng dấu OTK là:

(Cách khác: $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,802 = 0,198$)

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Xác suất toàn phần: $P(B) = \sum P(A_i)P(B|A_i)$.

• Sơ đồ hình cây: Là công cụ trực quan hóa các giai đoạn của biến cố. Muốn tính xác suất của một "lá", ta nhân các xác suất dọc theo "cành" dẫn đến lá đó.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn số liệu: Đề bài cho xác suất "không đạt - không đóng dấu" là 0,95, nhiều bạn lại mang số này vào tính $P(B)$ ở câu a. Hãy nhớ: $P(B)$ cần xác suất "có đóng dấu".

• Lỗi logic sơ đồ cây: Khi vẽ sơ đồ, tổng các xác suất xuất phát từ một nút phải luôn bằng 1.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán kiểm định chất lượng, tỉ lệ đóng dấu OTK ($P(B)$) thường rất gần với tỉ lệ sản phẩm tốt ($P(A)$). Nếu bạn tính ra kết quả quá lệch (ví dụ 0,5 hay 0,2), hãy kiểm tra lại các bước tính toán ngay nhé!