Bài 5.14 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Vị trí tương đối và mặt phẳng chứa hai đường thẳng

Bài 5.14 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ₁ : $\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\\z=2+3t\end{matrix}\right.$ và Δ₂ : $\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{2}$

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂.

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kỹ năng:

• Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau: Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương không, và tích hỗn tạp $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{AB}$ có bằng $0$ hay không.

• Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau: Mặt phẳng này sẽ đi qua điểm chung (hoặc một điểm bất kỳ trên $\Delta_1, \Delta_2$) và nhận tích có hướng của hai vectơ chỉ phương làm vectơ pháp tuyến.

Giải bài 5.14 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Chứng minh $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau

Bước 1: Xác định điểm và vectơ chỉ phương

• Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1; 3; 2)$ và có VTCP $\vec{u_1} = (2; -1; 3)$.

• Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(8; -2; 2)$ và có VTCP $\vec{u_2} = (-1; 1; 2)$.

Bước 2: Tính các vectơ liên quan

• Vectơ nối hai điểm: $\vec{AB} = (8 - 1; -2 - 3; 2 - 2) = (7; -5; 0)$.

• Tích có hướng của hai VTCP:

  $$\vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \left( \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \right) = (-5; -7; 1)$$

Bước 3: Biện luận vị trí tương đối

• Ta thấy $\vec{n} = (-5; -7; 1) \neq \vec{0}$, chứng tỏ $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương (Loại trường hợp song song hoặc trùng nhau).

• Tính tích hỗn tạp:

  $$\vec{AB} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = 7 \cdot (-5) + (-5) \cdot (-7) + 0 \cdot 1 = -35 + 35 + 0 = 0$$

Vì tích hỗn tạp bằng $0$ nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cùng nằm trong một mặt phẳng. Kết hợp với việc không cùng phương, suy ra $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$

Mặt phẳng $(P)$ chứa cả hai đường thẳng nên sẽ nhận tích có hướng của hai vectơ chỉ phương làm vectơ pháp tuyến.

1. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_P = [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (-5; -7; 1)$.

2. Điểm đi qua: Chọn điểm $A(1; 3; 2) \in \Delta_1 \subset (P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

Kết luận: Phương trình mặt phẳng cần tìm là $5x + 7y - z - 24 = 0$.

Tổng kết kiến thức

• Vị trí tương đối:

  • Cắt nhau: $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ không cùng phương và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{AB} = 0$.

  • Chéo nhau: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{AB} \neq 0$.

• Mặt phẳng chứa hai đường thẳng: VTPT luôn là tích có hướng của hai VTCP của hai đường thẳng đó.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai tích có hướng: Đây là bước quan trọng nhất nhưng cũng dễ sai dấu nhất. Hãy sử dụng định thức hoặc máy tính bỏ túi để kiểm tra lại.

• Nhầm lẫn điều kiện cắt và chéo: Nhiều bạn chỉ tính tích hỗn tạp bằng $0$ rồi kết luận cắt nhau mà quên kiểm tra tính không cùng phương của hai VTCP (đề phòng trường hợp song song).

• Sai dấu khi rút gọn phương trình: Khi đổi dấu từ $-5x - 7y + z + 24 = 0$ sang $5x + 7y - z - 24 = 0$, học sinh thường quên đổi dấu số hạng tự do.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán trắc nghiệm:

1. Thay điểm: Lấy tọa độ điểm $A(1; 3; 2)$ và $B(8; -2; 2)$ thay vào các đáp án mặt phẳng. Phương trình đúng phải thỏa mãn cả hai điểm này.

2. Kiểm tra tính vuông góc: VTPT của mặt phẳng trong đáp án phải vuông góc với cả $\vec{u_1}(2; -1; 3)$ và $\vec{u_2}(-1; 1; 2)$. Bạn chỉ cần tính tích vô hướng nhẩm nhanh:

   • $(5; 7; -1) \cdot (2; -1; 3) = 10 - 7 - 3 = 0$ (Đúng).

   • $(5; 7; -1) \cdot (-1; 1; 2) = -5 + 7 - 2 = 0$ (Đúng).