Bài 6.4 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất có điều kiện khi gieo hai con xúc xắc

Bài 6.4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán tính xác suất có điều kiện. Chúng ta cần xác định rõ hai biến cố:

• Biến cố điều kiện (đã xảy ra): "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm".

• Biến cố cần tính: "Tổng số chấm không nhỏ hơn 10" (tức là tổng $\ge 10$).

Giải bài 6.4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không nhỏ hơn 10”.

Gọi $B$ là biến cố: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.

Bài toán yêu cầu tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$.

Bước 1: Xác định số phần tử của biến cố điều kiện $B$

Để tính $n(B)$, ta sử dụng biến cố đối $\overline{B}$: "Cả hai con xúc xắc đều không xuất hiện mặt 5 chấm".

• Mỗi con xúc xắc có 5 mặt không phải mặt 5 chấm là $\{1; 2; 3; 4; 6\}$.

• Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là: $n(\overline{B}) = 5 \cdot 5 = 25$.

• Không gian mẫu khi gieo 2 con xúc xắc là $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$.

• Xác suất của biến cố $B$ là:

  $$P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Bước 2: Xác định biến cố giao $AB$

Biến cố $AB$ là tập hợp các kết quả vừa có ít nhất một mặt 5 chấm, vừa có tổng $\ge 10$.

Các cặp thỏa mãn điều kiện này bao gồm:

• $(5; 5)$ (tổng bằng 10)

• $(5; 6)$ (tổng bằng 11)

• $(6; 5)$ (tổng bằng 11)

  Số phần tử $n(AB) = 3$. Xác suất là: $P(AB) = \frac{3}{36}$.

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện

Xác suất cần tìm là:

Kết luận: Vậy xác suất để tổng số chấm không nhỏ hơn 10 khi biết có ít nhất một con mặt 5 chấm là $3/11$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện:

  $$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

• Cách dùng biến cố đối: Rất hữu ích khi đếm các trường hợp có cụm từ "ít nhất".

• Điều kiện "không nhỏ hơn $X$": Tương đương với việc xét các trường hợp $\ge X$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Liệt kê thiếu phần tử của $AB$: Học sinh thường chỉ tính $(5; 5)$ và $(5; 6)$ mà quên mất $(6; 5)$ là một kết quả khác biệt khi gieo hai con xúc xắc.

• Nhầm lẫn ý nghĩa "không nhỏ hơn": Một số bạn hiểu lầm "không nhỏ hơn 10" là chỉ tính tổng lớn hơn 10 (tức là 11, 12) mà bỏ qua trường hợp tổng bằng 10.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán gieo xúc xắc trắc nghiệm, các em có thể đếm trực tiếp trên không gian mẫu thu hẹp:

1. Liệt kê các trường hợp có ít nhất một con 5 chấm: Có 11 trường hợp.

2. Trong 11 trường hợp đó, lọc ra những cặp có tổng $\ge 10$: Có 3 cặp là $(5,5), (5,6), (6,5)$.

3. Đáp án là $3/11$.

   Cách làm này giúp tiết kiệm thời gian đáng kể vì không cần viết đầy đủ công thức $P(AB)$ hay $P(B)$.