Bài 6.6 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tìm số lượng kẹo ban đầu dựa trên xác suất

Bài 6.6 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là 1/3. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?

Phân tích bài toán

Đây là bài toán xác suất có điều kiện liên quan đến việc lấy mẫu không hoàn lại.

• Lần 1: Lấy 1 kẹo từ tổng số $n$ cái kẹo.

• Lần 2: Vì không trả lại, tổng số kẹo còn lại là $n-1$.

• Mối liên hệ: Xác suất của biến cố giao (cả hai lần cam) được tính bằng công thức nhân xác suất.

Giải bài 6.6 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $n$ là tổng số kẹo ban đầu trong túi ($n \in \mathbb{N}, n > 6$).

Gọi $A$ là biến cố: “Lần 1 Hà lấy được kẹo màu cam”.

Gọi $B$ là biến cố: “Lần 2 Hà lấy được kẹo màu cam”.

Khi đó, biến cố $AB$ là: “Cả hai lần Hà đều lấy được kẹo màu cam”. Theo đề bài, ta có $P(AB) = 1/3$.

Bước 1: Tính xác suất từng công đoạn

• Ở lần lấy thứ nhất: Trong túi có $n$ cái kẹo, trong đó có 6 cái màu cam.

  Xác suất lấy được kẹo cam lần 1 là:

  $$P(A) = \frac{6}{n}$$

• Ở lần lấy thứ hai: Vì không trả lại cái kẹo cam đã lấy ở lần 1, nên trong túi còn lại $n - 1$ cái kẹo, trong đó còn lại 5 cái màu cam.

  Xác suất lấy được kẹo cam lần 2 khi biết lần 1 đã lấy kẹo cam là:

  $$P(B|A) = \frac{5}{n - 1}$$

Bước 2: Lập phương trình dựa trên công thức nhân xác suất

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

Thay các giá trị vào biểu thức:

Bước 3: Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình $n^2 - n - 90 = 0$, ta tìm được các nghiệm:

• $n = 10$ (thỏa mãn điều kiện $n > 6$)

• $n = -9$ (loại vì số lượng kẹo không thể âm)

Kết luận: Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức nhân xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$.

• Lấy mẫu không hoàn lại: Luôn nhớ giảm cả số lượng phần tử thuận lợi và tổng số phần tử không gian mẫu cho các bước tiếp theo.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên trừ số kẹo ở mẫu số: Học sinh thường viết lần 2 là $5/n$, dẫn đến kết quả sai. Hãy nhớ "không trả lại" nghĩa là tổng số kẹo đã giảm đi 1.

• Điều kiện ẩn: $n$ phải lớn hơn 6 vì đề bài cho biết đã có 6 kẹo cam và "còn lại kẹo vàng". Nếu tính ra $n=6$ thì trong túi không có kẹo vàng, mâu thuẫn với đề bài.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán lấy 2 vật cùng màu không hoàn lại, các em có thể dùng công thức tổ hợp để lập phương trình nhanh:

$$P = \frac{C_6^2}{C_n^2} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{15}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{30}{n(n-1)} = \frac{1}{3}$$

Cách này giúp các em lập phương trình chỉ trong một bước, rất hữu ích cho các bài thi trắc nghiệm!