Bài 4.30 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán vận tốc chuyển động

Bài 4.30 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.

Phân tích nhanh

• Mối quan hệ đạo hàm - nguyên hàm: Vận tốc $v(t)$ là một nguyên hàm của gia tốc $a(t)$.

• Xác định các thông số:

  • Gia tốc: Vì viên đạn bắn ngược lên trên (chiều dương), trong khi trọng lực hướng xuống dưới nên gia tốc $a = -9,8$ m/s².

  • Vận tốc ban đầu: $v(0) = 30$ m/s.

  • Thời điểm cần tính: $t = 2$ giây.

Giải bài 4.30 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Thiết lập hàm vận tốc

Chọn chiều dương là chiều hướng từ mặt đất lên trên. Khi đó, gia tốc trọng trường ngược chiều dương nên ta có:

Hàm vận tốc $v(t)$ là nguyên hàm của hàm gia tốc $a(t)$:

Bước 2: Tìm hằng số $C$

Tại thời điểm ban đầu ($t = 0$), vận tốc của viên đạn là $30$ m/s. Thay vào biểu thức $v(t)$ ta có:

Suy ra hàm vận tốc của viên đạn theo thời gian là:

Bước 3: Tính vận tốc tại thời điểm $t = 2$ giây

Thay $t = 2$ vào hàm vận tốc vừa tìm được:

Kết luận: Vận tốc của viên đạn sau $2$ giây là $10,4$ m/s.

Tổng kết kiến thức

1. Liên hệ vật lý: Vận tốc bằng nguyên hàm của gia tốc. Quãng đường bằng nguyên hàm của vận tốc.

2. Quy tắc dấu: Trong các bài toán ném lên, luôn phải chú ý dấu của gia tốc trọng trường ($g$ luôn hướng xuống).

3. Ý nghĩa kết quả: Vận tốc $v(2) = 10,4 > 0$ cho thấy tại thời điểm $2$ giây, viên đạn vẫn đang trong quá trình đi lên nhưng tốc độ đã giảm đi do sức hút của Trái Đất.

Những lỗi hay mắc phải

• Sai dấu gia tốc: Nhiều học sinh để $a = 9,8$ dẫn đến kết quả $v(2) = 49,6$ m/s. Điều này vô lý vì vận tốc không thể tăng thêm khi ném lên.

• Nhầm lẫn giữa vận tốc và quãng đường: Tính nhầm sang bài toán tìm độ cao $h(t)$.

• Quên tìm hằng số $C$: Chỉ lấy nguyên hàm $-9,8t$ mà quên cộng thêm vận tốc đầu $v_0$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán chuyển động thẳng biến đổi đều (gia tốc $a$ không đổi), các em có thể áp dụng công thức vật lý đã học ở lớp 10 để kiểm tra kết quả:

Thay số: $v = 30 + (-9,8) \cdot 2 = 10,4 \text{ (m/s)}$.

Phương pháp này giúp các em kiểm tra lại đáp án của bài toán nguyên hàm cực kỳ nhanh chóng và hiệu quả.