Bài 6.21 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.21 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất 0,35 có phản ứng phụ sau tiêm; người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất 0,16. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là 18%.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán tính xác suất của "nguyên nhân" (có bệnh nền) khi đã biết "kết quả" (có phản ứng phụ).

• Dữ liệu tiền nghiệm: Tỉ lệ bệnh nền (18%).

• Dữ liệu điều kiện: Xác suất phản ứng phụ theo từng nhóm đối tượng.

• Công cụ giải: Công thức Bayes (Xác suất hậu nghiệm).

Giải bài 6.21 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• $A$: “Người được chọn có bệnh nền”.

• $\overline{A}$: “Người được chọn không có bệnh nền”.

• $B$: “Người được chọn có phản ứng phụ sau tiêm”.

Dựa vào dữ liệu đề bài, ta có:

• $P(A) = 18\% = 0,18 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,18 = 0,82$.

• $P(B|A) = 0,35$ (Phản ứng phụ khi có bệnh nền).

• $P(B|\overline{A}) = 0,16$ (Phản ứng phụ khi không có bệnh nền).

Chúng ta cần tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$.

Bước 1: Tính xác suất toàn phần của biến cố có phản ứng phụ ($P(B)$)

Trước khi tìm xác suất hậu nghiệm, ta tính tổng khả năng một người bất kỳ có phản ứng phụ:

Bước 2: Áp dụng công thức Bayes để tìm $P(A|B)$

Xác suất để người có phản ứng phụ là người có bệnh nền là:

Thay các giá trị vào biểu thức:

Kết luận: Vậy khi chọn ngẫu nhiên một người có phản ứng phụ, xác suất để người này có bệnh nền là khoảng 0,3244 (tương đương 32,44%).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần: Giúp tính mẫu số (tổng xác suất của kết quả).

• Công thức Bayes: Giúp "lật ngược" vấn đề để tìm xác suất của giả thuyết ban đầu.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn các con số: Học sinh thường lấy nhầm $0,35$ làm xác suất bệnh nền. Hãy nhớ: $0,35$ là xác suất có điều kiện ($B|A$), còn $18\%$ mới là xác suất biên ($A$).

• Lỗi làm tròn: Trong y tế và thống kê, sai số $0,0001$ cũng rất quan trọng. Hãy giữ ít nhất 4 chữ số thập phân ở các bước trung gian.

Mẹo giải nhanh

Để giải nhanh bài toán Bayes trên máy tính cầm tay:

1. Bấm tử số: $0,18 \times 0,35$ (Lưu vào biến $M$).

2. Bấm mẫu số: $M + (0,82 \times 0,16)$.

3. Lấy $M$ chia cho mẫu số vừa tính.

Tư duy: "Lấy nhánh thuận chia cho tổng các nhánh có cùng kết quả".

Cách này giúp các em làm trắc nghiệm cực nhanh mà không cần viết công thức dài dòng!