Bài 4.23 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tính giá trị hàm số dựa vào tích phân

Bài 4.23 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ, f(1) = 16 và $\int_{1}^{3}f'(x)dx=4$ . Khi đó giá trị của f(3) bằng

A. 20.

B. 16.

C. 12.

D. 10.

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tính giá trị hàm số tại một điểm khi biết giá trị tại điểm khác và tích phân của đạo hàm.

• Công thức áp dụng: Định lý Newton-Leibniz cho tích phân:

  $$\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$$

• Hướng giải: Thay các giá trị $a=1, b=3$ và kết quả tích phân vào công thức để rút ra $f(3)$.

Giải bài 4.23 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: A

Ta thực hiện các bước giải như sau:

Bước 1: Áp dụng định nghĩa tích phân

Vì $f'(x)$ là đạo hàm của $f(x)$, nên $f(x)$ chính là một nguyên hàm của $f'(x)$. Theo định lý Newton-Leibniz, ta có:

Bước 2: Thay số và tính toán

Theo giả thiết đề bài cho:

• $\int_{1}^{3} f'(x) \, dx = 4$

• $f(1) = 16$

Thay vào biểu thức trên ta được:

Vậy giá trị của $f(3)$ bằng 20.

Tổng kết kiến thức

1. Mối quan hệ Đạo hàm - Tích phân: Tích phân của đạo hàm trên một đoạn chính bằng hiệu số của hàm số đó tại hai đầu mút của đoạn.

2. Ý nghĩa: Công thức này cho phép chúng ta tìm độ biến thiên của hàm số mà không cần biết biểu thức cụ thể của hàm số đó, chỉ cần biết tốc độ thay đổi (đạo hàm).

Những lỗi hay mắc phải

• Nhầm dấu công thức: Một số học sinh nhớ nhầm thành $f(1) - f(3)$, dẫn đến kết quả $f(3) = 12$ (Đáp án C). Hãy nhớ luôn là Cận trên trừ Cận dưới.

• Nhầm lẫn giữa f(x) và f'(x): Đôi khi học sinh nhầm đây là tích phân của hàm số $f(x)$ thay vì đạo hàm $f'(x)$, dẫn đến việc loay hoay tìm nguyên hàm mà không có biểu thức.

• Sai sót tính toán: Chuyển vế đổi dấu sai ($f(3) = 16 - 4$) dẫn đến chọn nhầm đáp án.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán dạng: Biết $f(a)$, tính $f(b)$ khi biết $\int_{a}^{b} f'(x) \, dx$:

• Công thức tính nhanh: $f(\text{cận trên}) = f(\text{cận dưới}) + \text{Giá trị tích phân}$.

• Áp dụng vào bài: $f(3) = 16 + 4 = 20$. Bạn có thể ra ngay kết quả trong vòng 5 giây mà không cần viết lại định lý.