Bài 4.29 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tìm nguyên hàm lượng giác có điều kiện

Bài 4.29 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f(x)=cos2x+\frac{1}{sin^2x}$ thỏa mãn điều kiện $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1$

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tìm nguyên hàm cụ thể của hàm lượng giác.

• Công thức áp dụng:

  1. $\int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C$.

  2. $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C$.

• Hướng giải: Tìm họ nguyên hàm $F(x)$, sau đó thay $x = \frac{\pi}{4}$ để giải phương trình tìm hằng số $C$.

Giải bài 4.29 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức: 

Bước 1: Tìm họ nguyên hàm $F(x)$

Ta có:

Áp dụng công thức nguyên hàm cho từng số hạng:

• $\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$

• $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x$

Suy ra họ nguyên hàm là:

Bước 2: Tìm hằng số $C$

Theo đề bài, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Thay $x = \frac{\pi}{4}$ vào biểu thức $F(x)$:

Biết rằng $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ và $\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, ta có phương trình:

Bước 3: Kết luận

Vậy nguyên hàm cụ thể thỏa mãn điều kiện đề bài là:

Tổng kết kiến thức

1. Hệ số $1/a$: Đối với hàm $\cos 2x$, hệ số $a=2$ nên khi lấy nguyên hàm bắt buộc phải có $\frac{1}{2}$.

2. Giá trị lượng giác đặc biệt: Các em cần thuộc bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt ($\pi/4, \pi/2...$) để tính toán chính xác hằng số $C$.

Những lỗi hay mắc phải

• Quên hệ số $1/2$: Đây là lỗi phổ biến nhất, học sinh thường viết $\int \cos 2x \, dx = \sin 2x$, dẫn đến sai lệch toàn bộ kết quả phía sau.

• Sai dấu nguyên hàm: Nhầm lẫn $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = \cot x$ thay vì $-\cot x$.

• Tính giá trị lượng giác sai: Nhầm lẫn giá trị $\cot(\pi/4)$ hoặc $\sin(\pi/2)$.

Mẹo giải nhanh

• Sử dụng máy tính Casio: Để tìm hằng số $C$, sau khi ra được họ nguyên hàm, bạn có thể bấm: -1 - (0.5 * sin(2 * π/4) - 1/tan(π/4)). Máy tính sẽ trả ngay giá trị $C = -0.5$.

• Kiểm tra đáp án trắc nghiệm: Lấy đạo hàm của kết quả $F(x)$ xem có quay về đúng $f(x)$ ban đầu không. Nếu kết quả ra đúng $\cos 2x + \frac{1}{\sin^2 x}$ thì bạn đã làm đúng.