Bài 5.2 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 5.2 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các tính chất cơ bản của hình hộp và phương pháp tọa độ:

• Tính chất hình hộp: Các mặt là hình bình hành. Từ đó ta sử dụng đẳng thức vectơ để tìm tọa độ điểm còn thiếu (ví dụ: $\vec{BC} = \vec{AD}$).

• Phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng $(CB'D')$, ta cần tìm một điểm đi qua (điểm $C$) và một vectơ pháp tuyến (tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\vec{CB'}$ và $\vec{CD'}$).

Giải bài 5.2 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình:

a) Tìm tọa độ các điểm $C, B', D'$

Ta tính các vectơ cơ sở từ đỉnh $A$:

• $\vec{AB} = (0-1; 2-(-1); 4-3) = (-1; 3; 1)$

• $\vec{AD} = (2-1; -1-(-1); 1-3) = (1; 0; -2)$

• $\vec{AA'} = (0-1; 1-(-1); 2-3) = (-1; 2; -1)$

1. Tìm tọa độ điểm $C$:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{BC} = \vec{AD}$. Gọi $C(x_C; y_C; z_C)$, ta có:

$(x_C - 0; y_C - 2; z_C - 4) = (1; 0; -2)$

$\Rightarrow x_C = 1; y_C = 2; z_C = 2$.

Vậy $C(1; 2; 2)$.

2. Tìm tọa độ điểm $B'$:

Vì $ABB'A'$ là hình bình hành nên $\vec{BB'} = \vec{AA'}$. Gọi $B'(x_{B'}; y_{B'}; z_{B'})$, ta có:

$(x_{B'} - 0; y_{B'} - 2; z_{B'} - 4) = (-1; 2; -1)$

$\Rightarrow x_{B'} = -1; y_{B'} = 4; z_{B'} = 3$.

Vậy $B'(-1; 4; 3)$.

3. Tìm tọa độ điểm $D'$:

Vì $ADD'A'$ là hình bình hành nên $\vec{DD'} = \vec{AA'}$. Gọi $D'(x_{D'}; y_{D'}; z_{D'})$, ta có:

$(x_{D'} - 2; y_{D'} - (-1); z_{D'} - 1) = (-1; 2; -1)$

$\Rightarrow x_{D'} = 1; y_{D'} = 1; z_{D'} = 0$.

Vậy $D'(1; 1; 0)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(CB'D')$

Ta có:

• $\vec{CB'} = (-1-1; 4-2; 3-2) = (-2; 2; 1)$

• $\vec{CD'} = (1-1; 1-2; 0-2) = (0; -1; -2)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(CB'D')$ là tích có hướng của $\vec{CB'}$ và $\vec{CD'}$:

$\vec{n} = [\vec{CB'}, \vec{CD'}] = \left( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \right) = (-3; -4; 2)$

Phương trình mặt phẳng $(CB'D')$ đi qua $C(1; 2; 2)$ và có VTPT $\vec{n} = (-3; -4; 2)$ là:

$-3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow -3x + 3 - 4y + 8 + 2z - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0$.

Kết luận: Phương trình mặt phẳng là $3x + 4y - 2z - 7 = 0$.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc hình bình hành: Trong không gian, $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{AB} = \vec{DC}$ hoặc $\vec{AD} = \vec{BC}$.

• Vectơ chỉ phương và pháp tuyến: Một mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ thì vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$.

• Công thức tích có hướng:

  Nếu $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$ thì:

  $[\vec{a}, \vec{b}] = (a_2b_3 - a_3b_2; a_3b_1 - a_1b_3; a_1b_2 - a_2b_1)$

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Nhầm thứ tự đỉnh: Khi xác định các vectơ bằng nhau, học sinh thường nhầm $\vec{AD} = \vec{CB}$ (sai hướng) thay vì $\vec{AD} = \vec{BC}$.

2. Tính toán tích có hướng: Đây là bước dễ sai dấu nhất. Hãy nhớ quy tắc "che cột" và nhân chéo.

3. Quên dấu trong phương trình mặt phẳng: Khi rút gọn phương trình $-3x - 4y + 2z + 7 = 0$ thành $3x + 4y - 2z - 7 = 0$, hãy cẩn thận đổi dấu tất cả các hạng tử.

Mẹo giải nhanh

• Tìm đỉnh thứ 4 của hình bình hành: Nếu biết $A, B, D$ tìm $C$ trong hình bình hành $ABCD$, ta có công thức tọa độ: $x_C = x_B + x_D - x_A$.

  • Áp dụng: $x_C = 0 + 2 - 1 = 1$ (Khớp với kết quả bài giải).

• Kiểm tra lại kết quả: Sau khi viết xong phương trình mặt phẳng, hãy thay tọa độ các điểm $B'$ hoặc $D'$ vào phương trình. Nếu kết quả bằng 0 thì phương trình bạn viết là chính xác.