Bài 4.11 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.11 Toán 12 Kết nối tri thức:

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là v(t) = t² – t – 6 (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4,

tức là tính $\int_{1}^{4}v(t)dt$

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này,

tức là tính $\int_{1}^{4}|v(t)|dt$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Độ dịch chuyển: Tính $\int_{1}^{4} v(t) dt$.

2. Tổng quãng đường: Tính $\int_{1}^{4} |v(t)| dt$. Ta cần tìm các nghiệm của $v(t) = 0$ trong $[1; 4]$ để chia miền tích phân và phá dấu trị tuyệt đối.

• Giải $v(t) = t^2 - t - 6 = 0$: $t^2 - t - 6 = 0 \iff (t-3)(t+2) = 0$. Nghiệm $t=3$ và $t=-2$.

• Trong $[1; 4]$, chỉ có $t=3$ là điểm chia miền.

• Xét dấu $v(t)$: Tại $t=3$, $v(t)$ đổi dấu.

Lời giải chi tiết bài 4.12 Toán 12 KNTT:

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4 là

$\int_{1}^{4}v(t)dt=\int_{1}^{4}(t^2-t-6)dt$ $=\int_{1}^{4}t^2dt-\int_{1}^{4}tdt-6\int_{1}^{4}dt$

$\left.\begin{matrix}=\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right)\\\end{matrix}\right|_{1}^{4}$ $=-\frac{32}{3}+\frac{37}{6}=-\frac{9}{2}$

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là

$\int_{1}^{4}|v(t)|dt=\int_{1}^{4}|t^2-t-6|dt$ $=\int_{1}^{3}|t^2-t-6|dt+\int_{3}^{4}|t^2-t-6|dt$

$=-\int_{1}^{3}(t^2-t-6)dt$ $+\int_{3}^{4}(t^2-t-6)dt$

$\left.\begin{matrix}=-\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right)\\\end{matrix}\right|_{1}^{3}$ $+\left.\begin{matrix}\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right)\\\end{matrix}\right|_{3}^{4}$

$=\frac{27}{2}-\frac{37}{6}-\frac{32}{3}+\frac{27}{2}$ $=\frac{61}{6}$