Bài 4.3 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.3 Toán 12 Kết nối tri thức:

Tìm:

a) $\int\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx$;

b) $\int\sqrt{x}(7x^2-3)dx (x>0)$;

c) $\int\frac{(2x+1)^2}{x^2}dx$;

d) $\int\left(2^x+\frac{3}{x^2}\right)dx$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản:

1. Chuyển đổi: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

2. Nguyên hàm lũy thừa: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \ne -1$).

3. Nguyên hàm đặc biệt: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

4. Nguyên hàm hàm mũ: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ ($a > 0, a \ne 1$).

Đối với câu b) và c), ta cần khai triển hoặc nhân phân phối trước khi tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết bài 4.3 Toán 12 KNTT:

a) $\int\left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx$

$=3\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{-\frac{1}{3}}dx$

b)$\int\sqrt{x}(7x^2-3)dx$

$=\int(7x^{\frac{5}{2}}-3x^{\frac{1}{2}})dx$ $=7\int x^{\frac{5}{2}}dx-3\int x^{\frac{1}{2}}dx$

c) $\int\frac{(2x+1)^2}{x^2}dx$

$=\int\frac{4x^2+4x+1}{x^2}dx$ $=\int\left(4+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$

d)$\int\left(2^x+\frac{3}{x^2}\right)dx$ $=\int 2^xdx+3\int x^{-2}dx$

$=\frac{2^x}{\ln 2}-\frac{3}{x}+C$