Bài 4.24 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tính diện tích hình phẳng

Bài 4.24 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² – 2x, y = −x² + 4x và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là

A. −9.

B. 9.

C. 16/3

D. 20/3

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai cận $x = a, x = b$.

• Công thức áp dụng:

  $$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$

• Các yếu tố xác định: * $f(x) = x^2 - 2x$

  • $g(x) = -x^2 + 4x$

  • Cận: $a = 0, b = 3$.

Giải bài 4.24 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: B

Bước 1: Thiết lập biểu thức tính diện tích

Diện tích hình phẳng $S$ được tính theo công thức:

Bước 2: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$.

Trong khoảng $(0; 3)$, biểu thức $2x^2 - 6x$ luôn âm (do hệ số $a = 2 > 0$ và bề lõm hướng lên, khoảng $(0; 3)$ nằm giữa hai nghiệm).

Do đó: $|2x^2 - 6x| = -(2x^2 - 6x) = 6x - 2x^2$.

Bước 3: Tính tích phân

Thay cận vào ta được:

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 9 (đơn vị diện tích).

Tổng kết kiến thức

1. Công thức tính diện tích: Luôn nhớ có dấu giá trị tuyệt đối trong tích phân để đảm bảo diện tích luôn dương.

2. Cách phá dấu giá trị tuyệt đối: * Giải phương trình hoành độ giao điểm.

   • Chia khoảng tích phân nếu có nghiệm nằm giữa hai cận cho trước.

   • Nếu không có nghiệm giữa hai cận, có thể tính tích phân rồi lấy giá trị tuyệt đối kết quả cuối cùng.

Những lỗi hay mắc phải

• Diện tích âm: Một số học sinh tính ra kết quả $-9$ và chọn đáp án A. Hãy nhớ diện tích hình phẳng không bao giờ có giá trị âm.

• Quên phá dấu giá trị tuyệt đối: Không xét dấu mà tính trực tiếp dẫn đến sai lệch kết quả nếu hàm số đổi dấu trong khoảng $[a; b]$.

• Sai sót khi tính nguyên hàm: Nhầm lẫn công thức nguyên hàm của $x^2$ thành $x^3$ (thiếu mẫu số 3).

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán trắc nghiệm:

• Sử dụng máy tính Casio: Bấm trực tiếp lệnh tích phân kèm dấu giá trị tuyệt đối: ∫(|2x² - 6x|, 0, 3). Máy tính sẽ trả kết quả là 9 chỉ sau vài giây.

• Nhận xét đồ thị: Nếu vẽ nhanh, bạn sẽ thấy đồ thị $y = -x^2 + 4x$ nằm phía trên đồ thị $y = x^2 - 2x$ trong khoảng $(0; 3)$, nên biểu thức lấy tích phân sẽ là $(g(x) - f(x))$.