Bài 5.5 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng

Bài 5.5 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.

Phân tích nhanh

Đây là bài toán vận dụng trực tiếp công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian.

• Điểm cần tính: Gốc tọa độ $O$ có tọa độ mặc định là $(0; 0; 0)$.

• Mặt phẳng $(P)$: Đã cho ở dạng tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$.

• Công thức: $d(M, (P)) = \frac{|Ax_M + By_M + Cz_M + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Giải bài 5.5 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gốc tọa độ là điểm $O(0; 0; 0)$.

Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 1 = 0$ được tính theo công thức:

Thực hiện tính toán:

• Tử số: $|0 + 0 - 0 + 1| = 1$

• Mẫu số: $\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Vậy, $d(O, (P)) = \frac{1}{3}$.

Kết luận: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $(P)$ là $1/3$.

Tổng kết kiến thức

• Gốc tọa độ: Luôn là $O(0; 0; 0)$. Khi thay vào công thức khoảng cách, các hạng tử chứa $x, y, z$ đều bằng $0$, chỉ còn lại giá trị tuyệt đối của số hạng tự do $D$.

• Công thức rút gọn: Khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là:

  $$d(O, (P)) = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên dấu giá trị tuyệt đối: Một số bạn tính ra kết quả âm (nếu $D < 0$) do quên dấu $| \cdot |$ ở tử số. Khoảng cách luôn luôn là một số không âm.

• Tính sai mẫu số: Lỗi phổ biến là quên bình phương dấu âm (ví dụ: tính $(-1)^2$ thành $-1$ thay vì $1$).

• Nhầm tọa độ gốc tọa độ: Dù hiếm nhưng vẫn có bạn nhầm gốc tọa độ $O$ với các điểm đặc biệt khác trên trục.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài trắc nghiệm tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng, bạn chỉ cần thực hiện 2 bước nhẩm:

1. Lấy số hạng tự do bỏ vào trị tuyệt đối (trong bài này là $|1| = 1$).

2. Chia cho độ dài của vectơ pháp tuyến (căn bậc hai tổng bình phương các hệ số trước $x, y, z$).

   • Nhẩm nhanh: $\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.

3. Đáp án: $1/3$.

Cách này giúp bạn tìm ra kết quả chỉ trong vòng chưa đầy 10 giây!