Bài 4.4 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.4 Toán 12 Kết nối tri thức:

Tìm: a) $\int\left(2\cos x-\frac{3}{\sin^2 x}\right)dx$;

b) $\int 4\sin^2\frac{x}{2}dx$;

c) $\int\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2dx$;

d) $\int(x+\tan^2x)dx$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng các công thức lượng giác và nguyên hàm cơ bản:

1. Nguyên hàm cơ bản: $\int \cos x dx = \sin x + C$; $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

2. Công thức hạ bậc: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.

3. Công thức nhân đôi: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ và $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

4. Hệ thức lượng giác: $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.

Lời giải chi tiết bài 4.4 Toán 12 KNTT:

a) $\int\left(2\cos x-\frac{3}{\sin^2 x}\right)dx$

$=2\int \cos xdx-3\int\frac{1}{\sin^2 x}dx$

$=2\sin x+3\cot x+C$

b) Áp dụng công thức $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}$:

c) $\int\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2dx$

$=\int\left(\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)dx$

Áp dụng công thức $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

d) Áp dụng công thức $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$: