Bài 7.45 trang 65 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.45 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất góc 80°. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng BC của cây cột trên mặt đất dài 12 m vào tạo với cây cột một góc bằng 120° (tức là $\widehat{ABC}$= 120^o). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

Phân Tích Toán Học

• Tia sáng mặt trời: Chính là đường thẳng đi qua đỉnh cây cột ($A$) và đầu mút của bóng ($C$), tức là đường thẳng $AC$.

• Góc cần tìm: Là góc giữa đường thẳng $AC$ và hình chiếu của nó trên mặt đất.

• Dựng hình: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt đất. Khi đó $AH \perp (BCH)$.

  • $\widehat{ABH} = 80^\circ$ (Góc của cột với mặt đất).

  • $\widehat{ACH} = \alpha$ chính là góc giữa tia sáng và mặt đất cần tính.

Giải bài 7.45 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất. Khi đó AH ⊥ (BCH).

Ta có góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời là:

$\widehat{ACH}=\alpha$

Xét tam giác AHB vuông tại H, có AH = AB . sin80° = 10 . sin80° (m).

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC, có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

= 10² + 12² – 2.10.12.cos120° = 364

⇒ AC = 2$\sqrt{91}$ (m).

Xét tam giác AHC vuông tại H, có:

$sin\alpha =\frac{AH}{AC}$ $=\frac{10.sin80^o}{2\sqrt{91}}\Rightarrow \alpha \approx 31^o$

Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên khoảng 31°.