Bài 7.5 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.5 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAM)

b) Tam giác SBC cân tại S.

Giải bài 7.5 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

* Cần nhớ: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Ta có hình minh họa như sau:

a) Chứng minh BC ⊥ (SAM)

Xét ΔABC cân tại A có

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC)

⇒ AM là đường cao 

⇒ AM ⊥ BC   (1)

Lại có: SA ⊥ BC (vì SA ⊥ (ABC)) (2)

AM ∩ SA = {A}  (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ BC ⊥ (SAM) (đpcm)

b) Chứng minh: Tam giác SBC cân tại S.

Theo câu a) ta có: BC ⊥ (SAM)

Mà SM ⊂ (SAM)

⇒ BC ⊥ SM

Xét ΔSBC có:

• SM là đường cao (vì BC ⊥ SM)

• SM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC)

⇒ Tam giác SBC cân tại S (đpcm)