Bài 7.41 trang 65 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) ⊥ (ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Giải bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Kẻ SE ⊥ AD tại E. Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên E là trung điểm của AD.

Có (SAD) ⊥ (ABCD), (SAD) ∩ (ABCD) = AD,

SE ⊥ AD nên SE ⊥ (ABCD).

Vì tam giác SAD vuông cân tại S, SE là trung tuyến nên:

Khi đó: 

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD // BC mà BC ⊂ (SBC) nên AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(E, (SBC)).

Kẻ EF // AB (F thuộc BC).

Khi đó EF ⊥ BC (vì A ⊥ BC).

Mà SE ⊥ (ABCD) nên SE ⊥ BC mà EF ⊥ BC nên BC ⊥ (SEF).

Lại có BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SEF) và (SBC) ∩ (SEF) = SF.

Kẻ EG ⊥ SF tại G nên EG ⊥ (SBC).

Khi đó d(E, (SBC)) = EG.

Vì ABCD là hình vuông nên EF = AB = a.

Xét ΔSEF vuông tại E, EG là đường cao, có:

Vậy