Bài 9.10 trang 94 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = 2sin²(3x - π/4). Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Phân tích kiến thức áp dụng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các nhóm công thức sau:

Công thức đạo hàm hàm hợp

• Đạo hàm hàm lũy thừa: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$

• Đạo hàm hàm lượng giác: $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$

Công thức biến đổi lượng giác

• Công thức nhân đôi: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

Đánh giá giá trị hàm số

• Với mọi góc $\alpha$, ta luôn có: $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ hay $|\sin \alpha| \leq 1$.

Giải bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có:

$f'(x)=4sin\left ( 3x-\frac{\pi }{4} \right ).\left [ sin\left ( 3x-\frac{\pi }{4} \right ) \right ]'$

$=4.3.cos\left ( 3x-\frac{\pi }{4} \right ).sin\left ( 3x-\frac{\pi }{4} \right )$

$=12cos\left ( 3x-\frac{\pi }{4} \right ).sin\left ( 3x-\frac{\pi }{4} \right )$

$=6sin\left ( 6x-\frac{\pi }{2} \right )$

Vì: $-1\leq sin\left ( 6x-\frac{\pi }{2} \right )\leq 1$

$\Leftrightarrow -6\leq 6sin\left ( 6x-\frac{\pi }{2} \right )\leq 6$

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Qua bài giải bài 9.10 trang 94 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức, các em cần lưu ý các lỗi thường gặp:

• Quên hệ số u': Khi tính đạo hàm $\sin(3x - \pi/4)$, rất nhiều học sinh quên nhân thêm hệ số 3.

• Không rút gọn: Nếu để nguyên biểu thức $12\sin u \cos u$, việc đánh giá sẽ phức tạp hơn nhiều. Sử dụng công thức nhân đôi là chìa khóa để đưa về một hàm lượng giác đơn nhất, giúp việc chứng minh $|f'(x)| \leq 6$ trở nên trực quan.

• Kỹ năng biến đổi: Thành thạo các công thức lượng giác là yêu cầu bắt buộc để học tốt chương Đạo hàm.