Bài 9.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tìm hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến

Bài 9.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số y = x³ – 3x² + 4x – 1 có đồ thị là (C). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị (C) là

A. 1.

B. 2.

C. –1.

D. 3.

Phương pháp giải

Để tìm hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm bậc nhất $y'$: Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x$ được xác định bởi công thức $k = y'(x)$.

2. Thiết lập biểu thức hệ số góc: Biểu thức $k$ thu được thường là một tam thức bậc hai.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN): Sử dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc tìm đỉnh của parabol để xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $k$.

Giải bài 9.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: A

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm $M(x; y)$ bất kỳ trên đồ thị $(C)$ là:

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số góc $k$

Ta có $k = 3x^2 - 6x + 4$. Đây là một tam thức bậc hai theo biến $x$. Để tìm GTNN, ta biến đổi biểu thức về dạng bình phương thiếu:

Bước 3: Đánh giá và kết luận

Vì $(x - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên:

Do đó, $k \geq 1$.

Dấu "=" xảy ra khi $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Kết luận: Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị $(C)$ là 1. Vậy đáp án chính xác là A.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm tại điểm $x_0$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.

• Cực trị của hệ số góc: Đối với hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, hệ số góc $k$ là một parabol. Nếu $a > 0$, $k$ sẽ có giá trị nhỏ nhất tại hoành độ đỉnh của parabol $x = -b/(3a)$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa $y$ và $y'$: Nhiều bạn đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ ban đầu thay vì tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm $y'$.

• Sai sót khi biến đổi hằng đẳng thức: Lỗi thường gặp là tính nhầm hằng số tự do sau khi đưa về dạng bình phương (ví dụ: $3-4$ thay vì $4-3$).

• Quên hệ số $a$: Khi đặt nhân tử chung $3$, học sinh dễ quên không chia hệ số cho các số hạng bên trong ngoặc.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán tìm hệ số góc nhỏ nhất/lớn nhất của hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$:

1. Tính $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.

2. Giá trị cực trị của hệ số góc luôn đạt được tại hoành độ $x = -\frac{b}{3a}$ (đây cũng chính là hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm bậc ba).

3. Thay $x$ vào $y'$ để tìm $k_{min/max}$.

   Áp dụng: $x = -(-3) / (3 \cdot 1) = 1$.

   Thay $x = 1$ vào $y'$: $k = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1$. Chỉ mất vài giây để tìm ra đáp án!