Bài 7.12 trang 42 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.12 trang 42 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a.

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).       

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Phân tích Phương pháp Giải

• Phần a (Hình chiếu của $A$): Để tìm hình chiếu $I$ của $A$ lên $(SBC)$, ta cần chứng minh $AI \perp (SBC)$. Ta thường sử dụng định lý ba đường vuông góc.

  1. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.

  2. Kẻ $AI \perp SB$.

  3. Chứng minh $AI \perp (SBC)$.

• Phần b (Tính góc): Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên $(ABC)$, tức là $\mathbf{\widehat{SCA}}$. Ta dùng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $SAC$.

Giải bài 7.12 trang 42 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Kẻ AI ⊥ SB tại I.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Mặt khác, ABC là tam giác vuông tại B nên AB ⊥ BC mà SA ⊥ BC,

⇒ BC ⊥ (SAB).

Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AI mà AI ⊥ SB nên AI ⊥ (SBC).

Vậy I là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

b) Vì SA ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và SC

Mà $(AC, SC) = \widehat{SCA}$

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$ $=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có:

$tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}$ $=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA}=35,26^o$

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) khoảng 35,26°.