Bài 7.12 trang 42 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.12 trang 42 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a.

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).       

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Giải bài 7.12 trang 42 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Kẻ AI ⊥ SB tại I.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Mặt khác, ABC là tam giác vuông tại B nên AB ⊥ BC mà SA ⊥ BC,

⇒ BC ⊥ (SAB).

Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AI mà AI ⊥ SB nên AI ⊥ (SBC).

Vậy I là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

b) Vì SA ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và SC

Mà (AC, SC) = 

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có:

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) khoảng 35,26°.