Bài 9.21 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm hàm hợp chứa căn thức

Bài 9.21 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $f(x) = \sqrt{4+3u(x)}$ với u(1) = 7, u'(1) = 10. Khi đó f'(1) bằng

A. 1.

B. 6.

C. 3.

D. –3.

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp đối với căn bậc hai:

Trong trường hợp này, ta coi $v = 4 + 3u(x)$. Khi đó, đạo hàm của $v$ theo biến $x$ sẽ là:

Giải bài 9.21 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: C

Bước 1: Thiết lập công thức đạo hàm $f'(x)$

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp cho hàm số $f(x) = \sqrt{4 + 3u(x)}$:

Bước 2: Tính giá trị $f'(1)$

Thay $x = 1$ vào biểu thức đạo hàm vừa tìm được, ta có:

Bước 3: Thay các giá trị giả thiết đã cho

Dựa vào đề bài, ta có $u(1) = 7$ và $u'(1) = 10$. Thay vào biểu thức:

Kết luận: Giá trị của $f'(1)$ là 3. Vậy đáp án chính xác là C.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm hàm căn hợp: Luôn nhớ nhân thêm đạo hàm của biểu thức dưới dấu căn ($v'$) ở tử số.

• Hằng số trong đạo hàm: Đạo hàm của một hằng số (như số 4) luôn bằng 0.

• Thay số chính xác: Cần xác định đúng đâu là $u(1)$ và đâu là $u'(1)$ để tránh đặt nhầm vị trí trong công thức.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Thiếu hệ số 3: Nhiều bạn chỉ tính đạo hàm tử số là $u'(x)$ thay vì $3u'(x)$, dẫn đến kết quả là $1$ (Đáp án A).

• Quên số 2 ở mẫu: Công thức đạo hàm căn bậc hai luôn có số 2 ở mẫu số. Nếu thiếu số này, kết quả sẽ ra $6$ (Đáp án B).

• Sai sót khi tính căn thức: Tính nhầm $4 + 3 \cdot 7$ thành các giá trị khác khiến không khai căn được hoặc ra số lẻ.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài trắc nghiệm dạng này, bạn có thể nhẩm nhanh theo cấu trúc:

1. Tử số = (hệ số trước $u$) $\times$ ($u'$).

2. Mẫu số = 2 $\times$ (giá trị của căn thức).

   Nhẩm nhanh: Tử $= 3 \cdot 10 = 30$. Căn $= \sqrt{4+21} = 5$. Mẫu $= 2 \cdot 5 = 10$.

   Kết quả: $30 / 10 = 3$. Chỉ mất chưa đầy 15 giây để tìm ra đáp án chính xác!