Bài 8.7 trang 75 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất của biến cố hợp

Bài 8.7 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

Phân tích lý thuyết

Để giải bài toán này, các em cần phân biệt rõ giữa biến cố hợp và biến cố giao:

1. Biến cố hợp ($A \cup B$): Thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ. Vì có những bạn thích cả hai loại nhạc, nên đây là hai biến cố không xung khắc.

2. Công thức cộng xác suất tổng quát:

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

3. Biến cố đối ($\overline{C}$): Không thích cả hai loại nhạc. Đây là phần còn lại của không gian mẫu sau khi trừ đi những bạn thích ít nhất một loại nhạc.

   $$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$$

Giải bài 8.7 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• A: “Học sinh được chọn thích nhạc cổ điển”.

• B: “Học sinh được chọn thích nhạc trẻ”.

• AB: “Học sinh được chọn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ”.

• C: “Học sinh được chọn thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ” ($C = A \cup B$).

a) Tính xác suất để bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ

• Không gian mẫu $n(\Omega) = 40$.

• Số học sinh thích nhạc cổ điển: $n(A) = 14 \Rightarrow P(A) = \frac{14}{40} = 0,35$.

• Số học sinh thích nhạc trẻ: $n(B) = 13 \Rightarrow P(B) = \frac{13}{40} = 0,325$.

• Số học sinh thích cả hai loại: $n(AB) = 5 \Rightarrow P(AB) = \frac{5}{40} = 0,125$.

Áp dụng công thức cộng xác suất:

Kết luận: Xác suất để bạn được chọn thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ là 0,55.

b) Tính xác suất để bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ

Biến cố “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ” chính là biến cố đối của biến cố $C$ (ký hiệu là $\overline{C}$).

Áp dụng công thức xác suất biến cố đối:

Kết luận: Xác suất để bạn được chọn không thích cả hai loại nhạc là 0,45.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc cộng: Luôn nhớ trừ đi phần giao $P(AB)$ nếu hai biến cố có thể cùng xảy ra. Nếu các em quên trừ, kết quả sẽ bị tính lặp và sai lệch.

• Biến cố đối: Sử dụng khi đề bài có từ "không", "chưa" hoặc tính trực tiếp quá phức tạp.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên trừ phần chung: Lỗi phổ biến nhất là lấy $14 + 13 = 27$ bạn rồi tính xác suất. Điều này sai vì 5 bạn thích cả hai đã bị tính 2 lần (một lần trong nhóm cổ điển, một lần trong nhóm nhạc trẻ).

2. Nhầm lẫn ý nghĩa câu hỏi: Câu (b) hỏi "không thích cả hai", nhiều bạn nhầm sang "chỉ thích một loại". Hãy dùng sơ đồ Venn để hình dung rõ các vùng dữ liệu.

3. Sai sót khi đổi số thập phân: Khi tính toán với các phân số như $\frac{13}{40}$, hãy cẩn thận với dấu phẩy thập phân.

Mẹo giải nhanh bằng sơ đồ Venn

Các em có thể vẽ hai vòng tròn lồng nhau:

• Vùng chung (giao nhau) điền số 5.

• Vùng chỉ thích cổ điển: $14 - 5 = 9$.

• Vùng chỉ thích nhạc trẻ: $13 - 5 = 8$.

• Tổng số bạn thích ít nhất một loại nhạc: $9 + 5 + 8 = 22$.

• Xác suất câu a: $P = \frac{22}{40} = 0,55$. (Rất nhanh và trực quan!)