Bài 8.24 trang 80 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.24 trang 80 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A: “Ở lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1”;

B: “Ở lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 2”;

C: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 8”;

D: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 7”.

Chứng tỏ rằng các cặp biến cố A và C; B và C; C và D không độc lập.

Nhận xét

Muốn chứng minh hai biến cố không độc lập, ta chỉ cần:

P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)

Giải bài 8.24 trang 80 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Không gian mẫu

Mỗi lần gieo có 6 kết quả nên:

n(Ω) = 6 . 6 = 36

Bước 2: Xác định các biến cố

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}

⇒ P(A) = 6/36 = 1/6

B = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

⇒ P(B) = 6/36 = 1/6

C = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}

⇒ P(C) = 5/36

D = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

⇒ P(D) = 6/36 = 1/6

Xét từng cặp biến cố

1. Cặp A và C

Không có phần tử chung:

A ∩ C = ∅ ⇒ P(A ∩ C) = 0

Trong khi:

P(A) . P(C) = (1/6) . (5/36) = 5/216

⇒ 0 ≠ 5/216

⇒ A và C không độc lập

2. Cặp B và C

Ta có: B ∩ C = {(6,2)}

⇒ P(B ∩ C) = 1/36

Trong khi:

P(B) . P(C) = (1/6) . (5/36) = 5/216

So sánh:

1/36 = 6/216 ≠ 5/216

⇒ B và C không độc lập

3. Cặp C và D

Không có phần tử chung:

C ∩ D = ∅ ⇒ P(C ∩ D) = 0

Trong khi:

P(C) . P(D) = (5/36) . (1/6) = 5/216

⇒ 0 ≠ 5/216

⇒ C và D không độc lập

Kết luận

Các cặp biến cố sau đều không độc lập:

• A và C
• B và C
• C và D

Mẹo làm nhanh

• Chỉ cần tìm 1 cặp mà:
  P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)
  → kết luận ngay không độc lập

Lỗi học sinh hay gặp

• Tính sai xác suất giao (đặc biệt là B ∩ C)
• Không quy về cùng mẫu để so sánh
• Nhầm “xung khắc” với “độc lập”

Kết luận chung

Bài toán giúp hiểu rõ:

• Điều kiện độc lập của biến cố
• Cách kiểm tra nhanh bằng công thức