Bài 8.11 trang 78 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.11 trang 78 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Nhận xét

Đây là dạng bài lý thuyết quan trọng, giúp phân biệt rõ hai khái niệm:

• Biến cố xung khắc
• Biến cố độc lập

Hai khái niệm này rất dễ bị nhầm lẫn.

Giải bài 8.11 trang 78 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên: A ∩ B = ∅

Suy ra: P(A ∩ B) = 0

Mặt khác, do: P(A) > 0 và P(B) > 0

nên: P(A) × P(B) > 0

Ta có: P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)

Theo định nghĩa:

Hai biến cố độc lập khi và chỉ khi:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Vì điều này không xảy ra nên:

Kết luận: A và B không độc lập

Mẹo làm nhanh

• Biến cố xung khắc → không thể xảy ra cùng lúc → xác suất giao bằng 0
• Nếu cả hai biến cố đều có xác suất lớn hơn 0
  → chắc chắn không độc lập

Lỗi học sinh hay gặp

• Nhầm xung khắc với độc lập
• Nghĩ rằng “không liên quan” thì là độc lập
• Không kiểm tra điều kiện P(A) . P(B)

Kết luận

Nếu A và B xung khắc và đều có xác suất lớn hơn 0 thì:

A và B không độc lập