Bài 9.17 trang 96 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Tính gia tốc tức thời

Bài 9.17 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = 10 + 0,5sin(2πt + π/5), trong đó s tính bằng centimet và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phân tích lý thuyết

Để giải bài toán này, các em cần vận dụng ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai:

1. Vận tốc tức thời $v(t)$: Là đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động $s(t)$.

   $$v(t) = s'(t)$$

2. Gia tốc tức thời $a(t)$: Là đạo hàm bậc nhất của vận tốc $v(t)$, hay chính là đạo hàm bậc hai của phương trình chuyển động $s(t)$.

   $$a(t) = v'(t) = s''(t)$$

3. Công thức đạo hàm hàm hợp: $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$ và $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$.

Giải bài 9.17 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chúng ta thực hiện tính toán qua các bước sau:

Bước 1: Tính vận tốc tức thời $v(t)$

Đạo hàm phương trình quãng đường $s(t)$:

Bước 2: Tính gia tốc tức thời $a(t)$

Đạo hàm phương trình vận tốc $v(t)$:

Bước 3: Tính gia tốc tại thời điểm $t = 5$ giây

Thay $t = 5$ vào biểu thức $a(t)$:

Vì hàm số $\sin$ có chu kỳ $2\pi$, nên $\sin(10\pi + \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{5})$.

Sử dụng máy tính bỏ túi (để chế độ Radian):

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được: $-11,6$.

Kết luận: Gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây là $-11,6$ $cm/s^2$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Mối liên hệ: $s(t) \xrightarrow{ đạo hàm } v(t) \xrightarrow{ đạo hàm } a(t)$.

• Lưu ý đơn vị: Nếu $s$ tính bằng $cm$, $t$ tính bằng $s$ thì gia tốc phải có đơn vị là $cm/s^2$.

• Hàm lượng giác: Khi tính toán giá trị đạo hàm của hàm lượng giác, luôn đảm bảo máy tính đang ở chế độ Radian.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên đạo hàm hàm hợp: Đây là lỗi phổ biến nhất. Học sinh thường quên nhân thêm hệ số $u' = 2\pi$ dẫn đến kết quả sai số lượng lớn.

2. Nhầm dấu: Đạo hàm của $\cos$ là $-\sin$. Việc thiếu dấu trừ sẽ làm gia tốc bị ngược hướng so với thực tế.

3. Sai đơn vị: Nhầm lẫn giữa $m/s^2$ và $cm/s^2$ hoặc quên ghi đơn vị trong lời giải tự luận.

4. Làm tròn sai: Đề bài yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, cần quan sát chữ số hàng phần trăm để làm tròn đúng quy tắc.

Mẹo giải nhanh

Đối với chuyển động điều hòa dạng $s(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + C$, gia tốc luôn có công thức nhanh là:

Trong bài này: $\omega = 2\pi$, $s(5) - 10 = 0,5\sin(10\pi + \pi/5) = 0,5\sin(\pi/5)$.

Vậy $a(5) = -(2\pi)^2 \cdot 0,5\sin(\pi/5) = -2\pi^2 \sin(\pi/5)$. Kết quả ra ngay lập tức!