Bài 9.15 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tìm hệ số a, b của hàm số bậc hai

Bài 9.15 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số P(x) = ax² + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = –2.

Phương pháp giải

Để tìm hai ẩn số $a$ và $b$, chúng ta cần thiết lập một hệ phương trình dựa trên các dữ kiện về đạo hàm:

1. Tính đạo hàm cấp một $P'(x)$: Đạo hàm của hàm đa thức $ax^2 + bx + 3$.

2. Tính đạo hàm cấp hai $P''(x)$: Lấy đạo hàm của biểu thức $P'(x)$.

3. Thay giá trị $x = 1$: Thay vào các biểu thức đạo hàm để lập hệ phương trình hai ẩn $a, b$ và giải hệ đó.

Giải bài 9.15 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $P(x) = ax^2 + bx + 3$.

Bước 1: Tính các đạo hàm của hàm số

• Đạo hàm cấp một:

  $$P'(x) = (ax^2 + bx + 3)' = 2ax + b$$

• Đạo hàm cấp hai:

  $$P''(x) = (2ax + b)' = 2a$$

Bước 2: Thiết lập hệ phương trình Dựa vào giả thiết đề bài cho tại điểm $x = 1$, ta có:

• Với $P'(1) = 0 \Rightarrow 2a(1) + b = 0 \Leftrightarrow 2a + b = 0$ (1)

• Với $P''(1) = -2 \Rightarrow 2a = -2$ (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình Từ phương trình (2), ta tìm được giá trị của $a$:

Thay $a = -1$ vào phương trình (1), ta tìm được $b$:

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là $a = -1$ và $b = 2$. Hàm số cụ thể là $P(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp hai của hàm số bậc hai luôn là một hằng số ($2a$).

• Hệ số góc: Giá trị $P'(1) = 0$ cho biết tại điểm có hoành độ $x=1$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song hoặc trùng với trục hoành (điểm cực trị của Parabol).

• Quy tắc đạo hàm đa thức: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn bậc của đạo hàm: Một số bạn khi tính đạo hàm cấp hai vẫn giữ lại biến $x$, dẫn đến việc không giải được hệ phương trình. Hãy nhớ đạo hàm của $2ax$ là $2a$.

• Sai sót khi thay số: Thay $x=1$ nhưng lại tính toán nhầm dẫn đến phương trình sai (ví dụ: $2a + b = 3$ do nhầm với giá trị của $P(1)$).

• Quên đạo hàm hằng số: Đạo hàm của số $3$ phải bằng $0$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm dạng tìm hệ số của đa thức khi biết đạo hàm tại một điểm:

1. Hãy quan sát đạo hàm cấp cao nhất trước (ở đây là $P''(x)$). Thường thì nó sẽ giúp bạn tìm ngay được một hệ số (ẩn $a$).

2. Sau khi có ẩn đầu tiên, việc thay vào các phương trình đạo hàm cấp thấp hơn sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

3. Luôn kiểm tra lại: Với $a=-1, b=2$, ta có $P'(x) = -2x + 2$. Thay $x=1$ vào thấy $-2(1) + 2 = 0$ (Đúng).