Bài 9.15 trang 96 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Tìm hằng số trong đa thức

Bài 9.15 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số P(x) = ax² + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = –2.

Phân tích lý thuyết

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một $P'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm đa thức $(x^n)' = nx^{n-1}$.

2. Tính đạo hàm cấp hai $P''(x)$: Đạo hàm thêm một lần nữa dựa trên kết quả của $P'(x)$.

3. Lập hệ phương trình: Thay giá trị $x = 1$ vào các biểu thức đạo hàm vừa tìm được và cho chúng bằng các giá trị đề bài cung cấp.

4. Giải hệ phương trình: Tìm ra các hằng số $a$ và $b$.

Giải bài 9.15 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chúng ta tiến hành giải bài toán qua các bước cụ thể:

Bước 1: Tính các cấp đạo hàm của hàm số $P(x)$

Hàm số đã cho là: $P(x) = ax^2 + bx + 3$

• Đạo hàm cấp một:

  $$P'(x) = (ax^2)' + (bx)' + (3)' = 2ax + b$$

• Đạo hàm cấp hai:

  $$P''(x) = (2ax)' + (b)' = 2a$$

Bước 2: Thay giá trị tại $x = 1$

Dựa vào giả thiết đề bài:

• $P'(1) = 2a(1) + b = 2a + b$

• $P''(1) = 2a$

Bước 3: Lập và giải hệ phương trình

Theo đề bài, ta có $P'(1) = 0$ và $P''(1) = -2$. Ta lập hệ phương trình sau:

Giải hệ phương trình:

• Từ phương trình (2): $2a = -2 \Rightarrow a = -1$.

• Thay $a = -1$ vào phương trình (1): $2(-1) + b = 0 \Rightarrow -2 + b = 0 \Rightarrow b = 2$.

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là $a = -1$ và $b = 2$.

Hàm số cụ thể khi đó là $P(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm của đa thức bậc hai: Có dạng tuyến tính (bậc nhất).

• Đạo hàm cấp hai của đa thức bậc hai: Luôn là một hằng số ($2a$). Điều này có nghĩa là mọi điểm trên đồ thị hàm số này đều có cùng giá trị đạo hàm cấp hai.

• Ý nghĩa vật lý: Nếu $P(x)$ là phương trình chuyển động, thì $P'(1) = 0$ có nghĩa là vận tốc tại thời điểm $t=1$ bằng 0, và $P''(1) = -2$ có nghĩa là vật đang chịu một gia tốc không đổi là $-2$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Nhầm lẫn khi tính đạo hàm: Một số bạn khi đạo hàm $bx$ lại viết thành $b + x$ hoặc mất luôn hằng số $b$. Hãy nhớ đạo hàm của $x$ bằng 1.

2. Lúng túng với hằng số tự do: Đạo hàm của số 3 là 0, nhiều bạn vẫn giữ lại số 3 trong biểu thức $P'(x)$.

3. Sai sót khi giải hệ: Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rất cơ bản, tuy nhiên lỗi chuyển vế đổi dấu ($2a = -2 \rightarrow a = 1$) vẫn thường xuyên xảy ra.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán dạng đa thức bậc hai $y = ax^2 + bx + c$:

• Hệ số $a$ luôn được tìm thấy ngay từ $y''$ ($a = y'' / 2$).

• Sau khi có $a$, thay vào $y'$ để tìm $b$ ($b = y' - 2ax$).

  Điều này giúp các em kiểm tra lại đáp án cực nhanh trong các bài thi trắc nghiệm.