Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức Toán 8

Trong bài viết này, HayHocHoi.Vn sẽ chia sẻ phương pháp giải chủ đạo dựa trên hằng đẳng thức đáng nhớ cùng hệ thống bài tập minh họa chi tiết nhất.

I. Phương pháp giải dựa vào hằng đẳng thức

Trong chương trình Toán 8, công cụ mạnh mẽ nhất để tìm GTLN và GTNN là đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu nhờ các hằng đẳng thức:

• $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

• $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

1. Cơ sở lý thuyết toán học

• Với mọi biểu thức $A$, ta luôn có: $A^2 \ge 0$. Dấu "$=$" xảy ra khi $A = 0$.

• Với mọi biểu thức $A$ và $B$, ta luôn có: $A^2 + B^2 \ge 0$. Dấu "$=$" xảy ra khi $A = 0$ và $B = 0$.

2. Quy tắc biện luận biểu thức

Giả sử $a$ và $k$ là các hằng số ($k > 0$):

• Tìm GTNN: Nếu ta biến đổi được biểu thức về dạng $P(x) = A^2 + a \ge a$ thì $\min P(x) = a$. Dấu "$=$" xảy ra khi $A = 0$.

• Tìm GTLN: Nếu ta biến đổi được biểu thức về dạng $P(x) = -A^2 + a \le a$ thì $\max P(x) = a$. Dấu "$=$" xảy ra khi $A = 0$.

• Biện luận biểu thức dạng phân thức:

  • Nếu $0 < P(x) \le a$ thì $\frac{k}{P(x)} \ge \frac{k}{a}$ (Mẫu càng lớn thì phân thức càng nhỏ).

  • Nếu $P(x) \ge a > 0$ thì $\frac{k}{P(x)} \le \frac{k}{a}$ (Mẫu càng nhỏ thì phân thức càng lớn).

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $P = -x^2 + 4x$

• Lời giải:

  Ta tiến hành thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

  $$P = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4)$$
  $$P = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -(x - 2)^2 + 4$$

  Vì với mọi $x$ ta có: $(x - 2)^2 \ge 0 \Rightarrow -(x - 2)^2 \le 0$

  $$\Rightarrow -(x - 2)^2 + 4 \le 4$$

  Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi: $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

• Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\max P = 4$ khi $x = 2$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $A = -x^2 - 6x + 5$

• Lời giải:

  $$A = -(x^2 + 6x) + 5 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 9 - 9) + 5$$
  $$A = -(x^2 + 6x + 9) + 9 + 5 = -(x + 3)^2 + 14$$

  Vì với mọi $x$ ta có: $(x + 3)^2 \ge 0 \Rightarrow -(x + 3)^2 \le 0$

  $$\Rightarrow - (x + 3)^2 + 14 \le 14$$

  Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi: $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3$.

• Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $\max A = 14$ khi $x = -3$.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $B = 4x^2 + 12x + 7$

• Lời giải:

  $$B = [(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 9] - 9 + 7$$
  $$B = (2x + 3)^2 - 2$$

  Vì với mọi $x$ ta có: $(2x + 3)^2 \ge 0 \Rightarrow (2x + 3)^2 - 2 \ge -2$$ Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi: $2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{2}$.

• Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B$ là $\min B = -2$ khi $x = -\frac{3}{2}$.

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $C = \frac{5}{x^2 - 4x + 7}$

• Lời giải:

  Xét tam thức bậc hai ở mẫu thức, ta có:

  $$x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 3 = (x - 2)^2 + 3$$

  Vì với mọi $x$ ta có: $(x - 2)^2 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)^2 + 3 \ge 3$

  Vì mẫu thức luôn dương và lớn hơn hoặc bằng $3$, nên phân thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu thức nhỏ nhất:

  $$\Rightarrow C = \frac{5}{(x - 2)^2 + 3} \le \frac{5}{3}$$

  Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi: $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

• Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $C$ là $\max C = \frac{5}{3}$ khi $x = 2$.

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $M = \frac{3}{-x^2 - 6x + 10}$

• Lời giải:

  Xét biểu thức dưới mẫu thức:

  $$-x^2 - 6x + 10 = -(x^2 + 6x + 9) + 9 + 10 = -(x + 3)^2 + 19$$

  Vì với mọi $x$ ta có: $(x + 3)^2 \ge 0 \Rightarrow -(x + 3)^2 \le 0 \Rightarrow -(x + 3)^2 + 19 \le 19$

  Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng $19$, do đó phân thức có tử số dương sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu thức có giá trị lớn nhất:

  $$\Rightarrow M = \frac{3}{-(x + 3)^2 + 19} \ge \frac{3}{19}$$

  Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi: $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3$.

• Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ là $\min M = \frac{3}{19}$ khi $x = -3$.

III. Hệ thống bài tập tự luyện nâng cao

Để trau dồi và rèn luyện thành thạo kỹ năng giải toán biện luận đa thức, các em hãy thử sức làm các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: $A = 15 - 5x^2$

• Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: $B = 3x - x^2$

• Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức: $C = x^2 + 8x + 15$

• Bài 4 (Nhiều ẩn): Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức: $M = x^2 - 4x + y^2 + 4y + 5$

• Bài 5 (Nhiều ẩn phối hợp): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 11$

• Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: $G = \frac{9}{3x^2 + 6x + 5}$

• Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức: $I = \frac{2}{-x^2 - 4x + 3}$