Giải bài 4.17 trang 88 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng: DM² = MN.MK.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Đề bài cho một hình bình hành ABCD và một đường thẳng cắt các cạnh của nó tại ba điểm M, N, K. Ta cần chứng minh đẳng thức DM²=MN.MK.

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta cần tìm các tỉ lệ thức liên quan đến các đoạn thẳng DM, MN, MK. Định lí Thales là công cụ hoàn hảo cho việc này.

• Bước 1: Xác định các đường thẳng song song trong hình.

  • Vì ABCD là hình bình hành, ta có $AB//CD$ và $AD//BC$.

  • Từ đó suy ra $AN//CD$ và $AD//CK$.

• Bước 2: Áp dụng định lí Thales cho các tam giác và đường thẳng song song đã xác định ở trên để thiết lập các tỉ lệ thức.

  • Áp dụng định lí Thales cho $triangleAMN$ với đường thẳng $CD//AN$.

  • Áp dụng định lí Thales cho $triangleADM$ với đường thẳng $BC//AD$.

• Bước 3: Kết hợp các tỉ lệ thức đã tìm được để chứng minh đẳng thức cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC

⇒ AN // CD và AD // CK.

Áp dụng định lí Thalès vào ΔAMN có AN // CD, ta được:

  (*)

Áp dụng định lí Thalès vào ΔADM có CK // AD, ta được:

  (**)

Từ (*) và (**) ta có:

⇒ DM² = MN.MK (đpcm).