Giải bài 3.38 trang 73 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh đẳng thức $DM+BN=MN$, ta sẽ sử dụng một đường phụ bằng cách tạo ra các tam giác bằng nhau.

1. Sử dụng tia phân giác: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

2. Sử dụng tính chất hình vuông: Hình vuông có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

3. Chứng minh tam giác bằng nhau:

   • Ta sẽ chứng minh $\Delta ADM$ bằng một tam giác khác để suy ra $DM$ bằng một cạnh nào đó.

   • Ta cũng sẽ chứng minh $\Delta ABN$ bằng một tam giác khác để suy ra $BN$ bằng một cạnh nào đó.

   • Sau đó, ta sẽ cộng hai cạnh đó lại và chứng minh tổng của chúng bằng $MN$.

   • Gợi ý: Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với AE, gọi H là giao điểm. Chứng minh $\Delta ADM=\Delta AHM$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vì ABCD là hình vuông nên 

Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên

• Xét ∆ADM và ∆APM có:

 (chứng minh trên)

Cạnh AM chung

 (vì AM là tia phân giác của góc DAP).

⇒ ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).

⇒ MD = MP và AD = AP (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có: AB = AD và AD = AP nên AB = AP.

• Xét ∆ABN và ∆APNcó:

AN là cạnh chung;

AB = AP (chứng minh trên)

⇒ ∆ABN = ∆APN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

⇒ BN = PN (hai cạnh tương ứng).

Khi đó MN = MP + PN = MD + BN.

Vậy DM + BN = MN.