Giải bài 4.9 trang 83 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta có thể sử dụng một trong các dấu hiệu nhận biết sau:

1. Hình bình hành có một góc vuông.

2. Tứ giác có ba góc vuông.

Trong bài toán này, cách hiệu quả nhất là chứng minh tứ giác AHOK có ba góc vuông.

1. Sử dụng tính chất hình chữ nhật: Hình chữ nhật có các góc vuông và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

2. Sử dụng định lý đường trung bình: Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác để chứng minh các mối quan hệ song song và vuông góc.

3. Kết luận: Dựa trên các góc vuông đã tìm được, ta kết luận tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên  và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

⇒ AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD.

Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của tam giác ABD.

⇒ OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay 

Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay

Ta có: 

Tứ giác AHOK có: 

⇒ Tứ giác AHOK là hình chữ nhật.