Giải bài 4.24 trang 89 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Định lý đường trung bình: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.

2. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc vuông.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

4. Tính chất đường chéo hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Theo đề bài, ΔABC vuông tại A nên  

⇒ AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay

Ta có:

Tứ giác ADEF có:

⇒ Tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

⇒ Hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

⇒ Ba điểm B, I, F thẳng hàng.