Giải bài 3.42 trang 74 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là một hình thang và sau đó chỉ ra nó có thêm một tính chất đặc trưng của hình thang cân.

Các bước giải bài toán như sau:

1. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c): Chứng minh hai tam giác có chung một cạnh bên bằng nhau.

2. Sử dụng các góc tương ứng: Từ các tam giác bằng nhau, suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

3. Chứng minh hai cạnh đối song song: Sử dụng các cặp góc so le trong bằng nhau để chứng minh tứ giác là hình thang.

4. Kết luận: Kết hợp điều kiện tứ giác là hình thang với giả thiết hai đường chéo bằng nhau để suy ra đó là hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

• Xét ∆ABC và ∆BAD có:

BC = AD (giả thiết)

AC = BD (giả thiết)

Cạnh AB chung

⇒ ∆ABC = ∆BAD (c-c-c)

⇒  (hai góc tương ứng).

• Xét ∆ACD và ∆BDC có:

AD = BC (giả thiết)

AC = BD (giả thiết)

Cạnh CD chung

⇒ ∆ADC = ∆BCD (c-c-c)

⇒  (hai góc tương ứng).

• Xét ∆OAD và ∆OBC có:

(chứng minh trên)

AD = BC (giả thiết)

 (chứng minh trên)

⇒ ∆OAD = ∆OBC (g-c-g).

⇒ OA = OB; OC = OD (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó, các ΔOAB, ΔOCD là tam giác cân tại O.

⇒  

• Xét ∆OAB và ∆OCD cân tại O có:

 (hai góc đối đỉnh)

 và 

 mà hai góc này ở vị trí so le trong.

⇒ AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang.

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.

⇒ Tứ giác ABCD là hình thang cân.

Vậy nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.