Lý thuyết Toán 7 Bài 7: Tập Hợp Các Số Thực - Lý Thuyết và Bài Tập (Kết Nối Tri Thức)

1. Khái Niệm Số Thực và Trục Số Thực

• Khái niệm: Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

  • Tập hợp số thực được ký hiệu là .

• Trục số thực: Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số, và ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

• Ví dụ:

  • Số  là số hữu tỉ, nên cũng là số thực.

  • Số  là số hữu tỉ, nên cũng là số thực.

  • Số  là số vô tỉ, nên cũng là số thực.

• Lưu ý:

  • Mỗi số thực  đều có một số đối, ký hiệu là .

    Ví dụ: số đối của  là , số đối của  là .

  • Trong tập hợp số thực, cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như trong tập hợp số hữu tỉ (giao hoán, kết hợp, tổng số đối, cộng số 0...).

Ví dụ:

• Tính giá trị của biểu thức :

  •   .

Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

2. Thứ Tự Trong Tập Hợp Các Số Thực

• So sánh: Có thể so sánh hai số thực bằng cách viết chúng dưới dạng số thập phân.

• Tính chất:

  • Với hai số thực a, b  bất kỳ, ta luôn có a =b hoặc a < b hoặc a > b.

  • Tính chất bắc cầu: Nếu a < b và b < c thì a < c.

• Trục số thực: Nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b trên trục số. Các điểm trước gốc O là số âm, sau gốc O là số dương.

• Lưu ý: Nếu 0 < a < b thì .

Ví dụ:

• So sánh  và : Ta có , nên .

• So sánh  và : Vì  và , nên .

• Ta có $1<\sqrt{3}<2$ nên điểm biểu diễn của $\sqrt{3}$ trên trục số nằm giữa hai điểm A và B.

3. Giá Trị Tuyệt Đối Của Một Số Thực

• Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực , ký hiệu , là khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc O.

• Tính chất:

  •  nếu 

  •  nếu .

• Ví dụ:

  • .

  •  (vì ).

  •  (vì ).

Bài Tập Ứng Dụng

Bài 1: Phân loại số thực

Cho tập hợp . Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết:

a) Tập hợp B gồm các số hữu tỉ thuộc tập hợp A.

b) Tập hợp C gồm các số vô tỉ thuộc tập hợp A.

c) Tập hợp D gồm các số thực thuộc tập hợp A.

d) Tập hợp A' gồm các số đối của các số thuộc tập hợp A.

• Hướng dẫn giải:

  • Ta có .

  • a) Số hữu tỉ: .

  • b) Số vô tỉ: .

  • c) Số thực: .

  • d) Số đối: .

Bài 2: So sánh số thực

So sánh: a) 28,03 và 28,0(23)

b)  và 

c) 4 và 

d) -19,11 và -19,(1)

e) -2 và 

f)  và 3

g)  và 

• Hướng dẫn giải:

• a)  và  

• Vì  ở hàng phần nghìn, nên .

• b) Vì  và cả hai đều dương, nên .

• c) Ta có .

  Vì , nên , hay .

• d)  và  

  Vì , nên .

• e) Ta có .

  Vì , nên , hay . Do đó .

• f) . Vậy .

• g)  và . Vì , nên .