Bài 4.8 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.8 Toán 12 Kết nối tri thức:

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\int_{1}^{2}(2x+1)dx$

b) $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Câu a): Hàm số $y = 2x + 1$ là đường thẳng. Hình phẳng tạo thành là một hình thang vuông (vì $y \ge 0$ trên $[1; 2]$).

2. Câu b): Hàm số $y = \sqrt{9-x^2}$ là phương trình của nửa đường tròn phía trên trục hoành (vì $y \ge 0$). Tích phân là diện tích của nửa hình tròn này.

Lời giải chi tiết bài 4.8 Toán 12 KNTT:

a) Ta có:

Gọi A(1; 0), B(2; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 2; x = 1 với đường thẳng y = 2x + 1. Khi đó C(2; 5), D(1; 3).

Tích phân cần tính chính là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AD = 3, đáy lớn BC = 5, đường cao AB = 1.

Khi đó: $\int_{1}^{2}(2x+1)dx$ $=S_{ABCD}=\frac{(AD+BC).AB}{2}$ $=\frac{(3+5).1}{2}=4$

b) Ta có:

Ta có $y=\sqrt{9-x^2}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy $\int_{1}^{2}(2x+1)dx=\frac{1}{2}.\pi.3^2=\frac{9}{2}\pi$