Bài 4.27 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Ứng dụng tích phân trong vật lý

Bài 4.27 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t² + t (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là

A. 8 m/s.

B. 10 m/s.

C. 12 m/s.

D. 16 m/s.

Phân tích nhanh

• Mối quan hệ: Vận tốc $v(t)$ là một nguyên hàm của gia tốc $a(t)$.

  $$v(t) = \int a(t) \, dt$$

• Dữ kiện đã cho:

  • Hàm gia tốc: $a(t) = 3t^2 + t$.

  • Vận tốc ban đầu: $v(0) = 2$ m/s (để tìm hằng số $C$).

• Yêu cầu: Tính $v(2)$.

Giải bài 4.27 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: C

Bước 1: Tìm họ nguyên hàm của vận tốc

Ta có hàm vận tốc được xác định bởi:

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:

Bước 2: Tìm hằng số $C$

Theo đề bài, vận tốc ban đầu (tại thời điểm $t = 0$) là $2$ m/s. Thay $t = 0$ vào biểu thức $v(t)$:

Vậy hàm vận tốc cụ thể là: $v(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} + 2$.

Bước 3: Tính vận tốc tại thời điểm $t = 2$

Thay $t = 2$ vào hàm vận tốc vừa tìm được:

Tổng kết kiến thức

1. Mối liên hệ đạo hàm - nguyên hàm:

   • Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: $a(t) = v'(t)$.

   • Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t) = s'(t)$.

2. Quy trình giải: Tìm họ nguyên hàm $\rightarrow$ Dùng điều kiện ban đầu tìm $C$ $\rightarrow$ Tính giá trị tại thời điểm yêu cầu.

Những lỗi hay mắc phải

• Quên hằng số $C$: Nhiều học sinh tính nguyên hàm xong rồi thay trực tiếp $t=2$ vào $t^3 + t^2/2$ thu được kết quả $10$ m/s (Đáp án B). Hãy nhớ vận tốc ban đầu $v(0)$ chính là giá trị của $C$ trong trường hợp này.

• Nhầm lẫn giữa các đại lượng: Tính nhầm quãng đường thay vì vận tốc (lấy nguyên hàm thêm một lần nữa).

• Sai sót khi tính nguyên hàm: Nhầm công thức nguyên hàm của $t$ thành $1$ hoặc $t^2$ (thiếu mẫu số 2).

Mẹo giải nhanh

Đối với trắc nghiệm, các em có thể sử dụng tích phân xác định để tính biến thiên vận tốc:

Bấm máy tính Casio: 2 + ∫(3x² + x, 0, 2).

Máy tính sẽ trả ngay kết quả 12 chỉ trong vài giây, giúp tiết kiệm thời gian và tránh sai sót khi tìm hằng số $C$.